Проблемная ситуация и алгоритм метода

 

Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее адекватное выражение.

Суть метода в том, что рекомендуется некую частную проблему, которая стоит перед исследователем, переформулировать в общую и уже в этом виде искать ответ.

Поставим вопрос так. Какую задачу решить легче: частную или общую? Казалось бы, частная задача поддается решению легче, поскольку она более конкретна, наглядна, приближена к жизни, ее можно, что называется, показать на пальцах, тогда как общая задача абстрактна, отвлеченна, недоступна чувственному восприятию.

Между тем опыт научных исследований, история науки убеждают, что проблема, сформулированная в общем виде, решается быстрее, с меньшей затратой усилий, чем проблема, поставленная в частной форме. Более того, задача, взятая в частном виде, порой вообще не решается. Скажем, определение расстояния от Земли до Луны. Как его измерить эмпирическими средствами? Задача была решена как общая, в классе проблем определения расстояний до недоступных объектов.

 

В связи с этим немецкие математики Р. Дедекинд и П. Дирихле замечают, что, как часто случается, общая задача дается легче, чем была бы частная, если бы мы решали ее прямо в лоб¹. Или, согласно мнению Д. Пойа, «легче доказать более сильную теорему, чем более слабую»². Напомним, что слабой считается теорема, выводимая из другой, более сильной.

Остановимся на гносеологическом механизме, посредством которого осуществляется решение научной задачи методом обобщающей переформулировки. То есть попытаемся найти своего рода алгоритм действия рассматриваемого приема. Здесь мы обратимся к открытию Лейбницем метода дифференциального исчисления.

Ученый бился над проблемой определения касательной к данной точке. То была действительно частная задача, определяемая потребностями строительной механики. Но как частную Лейбниц ее решить не мог, поскольку в этом виде она нерешаема. Тогда Лейбниц, который рассказывает о перипетиях своих исканий сам, взял на дуге вместе с исходной точкой А еще одну точку В и провел через эти две точки секущую (рис. 5).

 

 

Указанная операция не составляла труда и осуществима с помощью уравнения прямой. Затем Лейбниц стал приближать по дуге точку В к точке А, соответственно секущая меняла свое положение и в предельном случае, когда точка В накладывалась на точку А,

_________________

¹ Цит. по: Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1975. С. 50.

² Пойа Д. Как решать задачу. М., 1959. С. 114.

 

становилась касательной. Сближение точек и представляет операцию дифференцирования, лежащую в основе метода дифференциального исчисления.

Мы подробно рассмотрели механизм открытия, чтобы на этом примере выстроить схему указанного метода и разметить шаги, которые проделал первооткрыватель, а тем самым вынести определенную методологическую рекомендацию.

Первый шаг на этом пути применения метода обобщенного подхода, точнее, обобщающей переформулировки задачи – проблемный сдвиг. Его целью является переориентация задания: исходную, частную проблему надо осознать как общую, перевести в класс общих задач, что и было осуществлено в разбираемом случае путем нанесения второй точки на кривую и проведения секущей. Замысел состоял в том, что теперь ученый имел дело не с одной линией (отыскиваемой касательной), а с целым набором линий, демонстрирующих различные положения. Частное переходило в общее.

Второй шаг – поисковый. Если проблема переосмыслена как общая, то и решение ее требует общего метода. Таким методом становится прием дифференцирования. В его основе – исчисление бесконечно малых. По определению, бесконечно малые есть величины, стремящиеся к пределу, равному нулю. В рассматриваемом случае это и есть наложение точки В на точку А.

Третий шаг – дедуктивный. Отыскав общий метод решения класса задач, мы возвращаемся к нашей исходной проблеме, решение которой представляется уже частным случаем применений общего подхода, одним из следствий найденного метода.

Для убедительности можем сослаться и на открытие И. Кеплера.

В исходном пункте лежала частная, даже и не научная, а сугубо практическая, хозяйственная задача – определение объемов винных бочек. Кеплера заинтересовало, насколько правильно купцы измеряют объемы бочек, погружая в них железный стержень до упора и на основе этого определяя объем всего лишь по одному значению. Сомнение в точности измерений зародилось потому, что бочки не имеют правильной цилиндрической формы. Ученый переводит исходную задачу в общую – измерение объемов, очерченных кривыми поверхностями. Так осуществился первый шаг – проблемный сдвиг. Второй шаг, поисковый, произведен изобретением метода интегрального исчисления как операции, обратной дифференцированию и состоящей в суммировании бесконечно малых значений.

 

А теперь, получив общий метод измерения объемов, можно вернуться к исходной задаче и, осуществляя дедуктивный шаг, измерять объемы бочек, что выступает уже лишь частным случаем.

Аналогично И. Ньютон пришел к идее дифференциального исчисления через задачи, связанные с разработкой разделов механики: определение мгновенной скорости точки, ускорения, вычисление пройденного телом пути и другие, в общем-то по отношению к методу дифференциального исчисления достаточно специальные темы. Математическое мышление шло этим же обобщенным путем и в ряде других случаев. Исследование колебания струн привело Даламбера к уравнениям в частных производных. С некоторыми задачами электротехники Хевисайд смог справиться, лишь разработав операционный метод решения дифференциальных уравнений и т.д.