Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотноситься с реальностью. Чем-то должны характеризоваться ее объекты.
Да. Это способность вступать в отношения – количественные, пространственные. Здесь вновь проявляется особенность математического знания, именно то, что она описывает не вещи, а отношения. А. Пуанкаре подчеркивает в связи с этим: «Математик изучает не предметы, но лишь отношения между предметами, следовательно, для него вполне безразлично, будут ли данные предметы замещены какими-нибудь другими, лишь бы только не изменились при этом их отношения»1. Аналогичные идеи развиваются современными учеными. С. Клини, Н. Бурбаки, Р. Фейнман и др. также акцентируют внимание на том, что математика абстрагируется от естественных характеристик предметов по их свойствам и учитывает лишь отношения между ними. «Если об объектах, — пишет, например, С. Клини, – мы ничего не знаем, кроме соотношений, имеющихся между ними в системе, то такая система называется абстрактной. В этом случае усматривается только структура системы, а природа ее объектов остается неопределенной во всех отношениях, кроме одного, что они согласуются с этой структурой»2. С этим, кстати, и связано одно (уже упомянутое нами ранее) из распространенных определений математики как «скопления абстрактных форм – математических структур»3.
Итак, математика описывает отношения. По определению, отношения – это то, на основе чего вещи могут быть сравниваемы. Математика берет своим предметом количественные и пространственные отношения. Точнее сказать, она может рассматривать отношения в любых физических проявлениях, в любых физических телах и процессах, но выявляет при этом именно количественную и пространственную характеристики – количественное соотношение, интенсивность какой-либо качественной определенности или ее пространственного распределения. Отсюда способность математи-
______________
1 Пуанкаре А. Наука и гипотеза. С. 23.
2 Клини С Введение в метаматематику. М., 1957. С. 29-30.
3 Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Иностр. лит., 1968. С. 259. Заметим, Н. Бурбаки – коллективный псевдоним группы современных математиков, по преимуществу французских.
ки к количественной обработке любой информации, выражая ее в числовых значениях.
К. Гаусс следующим образом на примере противостояния положительных и отрицательных чисел раскрывает эту особенность математики выявлять независимо от природных свойств количественные соотношения в предметах, сосчитывать и сравнивать их. Эти числа применимы лишь в том случае, пишет Гаусс, когда сосчитанное соотнесено с чем-то противоположным, так что их соединение дало бы в результате нуль. «Точнее говоря, – продолжает Гаусс, – это условие осуществляется только там, где сосчитанное составляет не субстанции (сами по себе мыслимые предметы), а соотношения между двумя предметами»1. Принимая предметы расположенными в один ряд, например: A, B, C, D..., притом отношение А к В мыслится равным отношению В к С и т. д., можем понятие противоположности выразить таким образом. Перестановка членов отношения проводится так, что если переход (отношение) от А к В есть 1, то переход от В к А должен быть выражен через – 1. Модель такого отношения дает перемещение в пространстве. Когда идем от А к В, а затем обратно от В к А, общий итог подобного перемещения равен нулю. Иначе говоря, АВ+ВА=0. Гаусс резюмирует: «Математик совершенно отвлекается от свойств предметов... Его задача ограничивается счетом и взаимным сравнением отношений»2.
В силу того, что математика описывает не отдельные вещи, а их отношения, ее основное понятие «число» также представляет собой отношение. Именно число (речь идет о конкретных числах – 5, 7, 14 и т. д.) есть множество всех множеств, которые эквивалентны между собой. Скажем, число «три» является определением всех множеств, которые можно поставить во взаимно-однозначное отношение с {А, В, С}-множеством, есть то общее свойство, присущее всем тройкам, из каких бы предметов они не были составлены.
Конечно, это определение не безупречно. Оно таит порочный круг (idem per idem). В простейших случаях мы избегаем его, употребляя для описания числа «два» выражение «двойка» (то есть два – это все двойки), для чисел 3, 4, 5 и т. д. – соответственно: «тройка», «четверка», «пятерка». Но видимость преодоления круга становится явной уже при характеристике числа 11.
____________
1 Цит. по: Кунтус Ф. Математика и точное изложение теоретико – познавательных проблем // Новые идеи в философии. СПб.: Образование, 1914.№П.С. 130.
2 Там же. С. 133.
Имеются различные предложения, как избежать тавтологии. В. Куайн, в частности, пишет следующее. Если, например, число «пять» есть класс всех пятичленных классов, то и есть класс всех п-членных классов. Но можно разорвать порочный круг применения п для определения этого же п, если каждое число характеризовать через предшествующее ему число. Так, продолжает В. Куайн, имея число 5, можно число 6 представить как класс всех тех классов, которые при исключении одного члена будут принадлежать классу 5. Обратившись к самому началу ряда, 0 удобно объяснить как класс, состоящий из единственного пустого класса. Тогда 1 – класс тех классов, уменьшение которых на один член приводит к классам, принадлежащим 0, число 2 – класс тех классов, которые после исключения одного члена принадлежат классу 1 и т. д.1
Дж. Фон Нойман предлагает для названной цели ввести в де-финиенсу каждого числа указание на класс предшествующих чисел. В этом случаепустой класс ø, 1 – класс, единственным членом которого является 0 {ø}, 2 – класс, состоящий из двух членов: 0 и 1{ ø, { ø }} и т.д. Там, где Г. Фреге говорит, что "класс из n членов принадлежит числу n», фон Нойман предлагает выражение: «класс из n членов – это класс, члены которого могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие с членами числа n».