Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п. Повернем дело следующим образом: существовали ли бы болезни, не будь врачей, или звезды, не имейся астрономов? Очевидно, существовали бы. А теперь, продолжает Реньи, спросим себя, а
существовали бы числа, если бы не было математиков? Тут мы явно затрудняемся с ответом1.
Действительно, здесь нет однозначного решения. С точки зрения бихевиористского подхода хотя бы для части математических символов найти выход можно, приняв значением знаков соответствующие операции. Но объяснить подобным образом все обозначения, те же числа, явно не удается. Можно было бы остановиться на смысловой концепции значения, взяв в качестве последнего знания, которые представлены знаком. Однако чисто смысловая позиция тоже ограничена, поскольку, как мы отмечали, она не отсылает к предмету, который должен находиться за знаком. (Поэтому в семиотике и принимается объединенная предметно-смысловая концепция значения как наиболее адекватная.) Все это вновь и вновь вызывает дискуссии о том, как существуют объекты математики. Наверное, есть правда в словах М. Борна, когда он пишет, что если в физике символ указывает на определенную реальность «по ту сторону повседневного опыта», то в математике «символы – самоцель»2! То есть это выдает автонимность математических знаков, по крайне мере знаков чисел. Но не все объяснимо автонимностью. Это лишь один из аспектов их функционирования.
Проблемный вопрос, как существует математический объект, представляемый знаком, вернее, где он существует?
Говоря о местонахождении математических сущностей – чисел, функций и т.п., Л. Витгенштейн рассуждает так. Если в бытии, то где именно? Если же в сознании, то в чьем конкретно: коллективном или индивидуальном? Допустим, в коллективном. Но что представляет собой коллективное сознание? Если в индивидуальном, то как объяснить, что различные индивидуальные сознания действуют в этом вопросе согласованно, так, что теорема, где бы она ни была доказана, окажется одной и той же теоремой?3
По этой проблеме традиционно враждуют две основные линии – реализм и номинализм. Одни математики (А. Черч, К. Гедель) считают, что числа существуют так же реально, как обычные вещи, и мы обращаемся с ними наподобие того, что делаем с предметами или того, как поступаем с людьми, встречая и провожая их.
________________
1 Реньи А. Диалоги о математике. М.: Мир, 1969. С. 34.
2 Борн М. Моя жизнь и взгляды. М.: Прогресс, 1973. С. 115.
3 Подробнее о позиции Л. Витгенштейна см.: Успенский В.А. Витгенштейн и основания математики // Вопросы философии. 1998. № 5. С. 86.
Французский математик 2-й половины XIX в. Ш. Эрмит пишет, например: «Математические объекты существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, которые мы узнаем или открываем и изучаем точно так же, как делают физики, химики, зоологи»1.
Эта позиция и была обозначена термином «реализм» в соответствии с одноименным философским понятием, ведущим начало еще от древних греков и связанных с именем Платона (V-IV вв. до н.э.), имея другое распространенное название «платонизм». По учению Платона, сущность вещей заключена в универсалиях, идеальных образованиях, существующих до и независимо от действительных предметов, которые есть лишь бледные копии реалий, временные и преходящие. Душа каждого индивидуума, пребывавшая некогда в мире идеальных сущностей и будучи затем воплощенной в конкретном человеке, вспоминает об этом совершенном мире, что и составляет суть процесса познания. Окружающий нас мир есть своего рода пещера, «эпистемическая пещера» (от греч. «эпистема» – знание), как ее назвал Платон, и мы ее пленники. Настоящий мир за ее пределами, а к нам приходят только его отблески, подобно тому, как мы, сидя, например, в яме, можем наблюдать тени от движущихся снаружи фигур, сосудов, которые они проносят и т.п. Хорошая иллюстрация платоновскому пониманию этих миров у А. Блока:
Милый друг, иль ты не видишь,
Что все видимое нами,
Только отблеск, только тени,
От незримого очами!
Милый друг, иль ты не слышишь,
Что житейский шум трескучий,
Только отзвук искаженный
Торжествующих созвучий!
В более ослабленной версии реализм развивался школой Аристотеля (Теофраст, перипатетики – IV—III вв. до н.э.), позднее – Фомой Аквинским. Общее пребывает в вещах, но сосредоточено в них локально. По мнению Фомы Аквината (XIII в.), общее существует до вещей, в божественном разуме как индивидуальные прооб-
______________
1 Цит. по: Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1978. С. 315.
разы индивидуальных предметов; оно существует также и в вещах, ибо имманентно им; общее существует и после вещей, в человеческом разуме в виде понятий, полученных путем абстрагирования от отдельных вещей.
С точки зрения философской оценки это объективный идеализм, принимающий природу порождением некой идеи. Большинство математиков, говоря о статусе чисел и других математических объектов, считают их реально сущими. Но почему? Академик А. Колмогоров объясняет это тем, что так удобнее: уровень математической абстракции понижается до нулевого, то есть до уровня вещей, хотя ясно, что это не вещи. «Математики привыкли, – пишет А. Колмогоров, – обращаться с числами, функциями, множествами так, как будто бы это были вещи, подобные материальным»1.
Другое направление (Н. Гудмэн, В. Квайн) придерживается той установки, что в мире не существует ни классов, ни множеств и чисел как таковых в качестве реальных объектов, ибо существует только то, говорят они, что существует, то есть имеет пространственно-временную координату. Поэтому реальны лишь отдельные вещи и их имена. Отсюда и название этого течения — номинализм (от лат. nomen – имя). Существовать, в понимании, например, Квайна, – значит быть значением квантифицированной переменной, то есть принимать одно из значений, которые пробегает подкванторный знак при подстановке вместо последнего имени конкретного объекта.
В плане практического применения в математических операциях номинализм крайне неудобен, поскольку сторонники этого направления используют вместо привычных теоретико-множественных формулировок иные выражения. В частности, отношение элемента и множества заменяется у них отношением части и целого, для чего вводится понятие «частица» как обозначение самого малого в соответствующих классах (целом), а затем производится сравнение множеств на предмет выяснения их отношений по критериям «больше», «меньше», «равно» и т. п.2
Не принимая числа в качестве классов, номиналисты вынуждены каждый раз производить с числом реинтерпретацию, то есть
______________
1 Колмогоров А. Современные споры о природе математики // Научное слово. 1929. №6. С. 48.
2 Подробный анализ номиналистского языка см.: Генкин Л. Номиналистский анализ математического языка // Математическая логика и ее приложения. М.: Мир, 1965. С. 216-223.
приводить его в нормальную форму, а это громоздко и сложно. Скажем, предложение «быть на единицу больше» трансформируется в очень неудобное выражение: «x больше, чем y, если и только если x отлично от y, и x принадлежит всем множествам, содержащим y, и все целые числа на единицу больше любого их члена»1. Переинтерпретация настолько сложна, что нередко конкурируют несколько вариантов, а в иных случаях она вообще невозможна, и некоторые разделы математики оказываются нереинтерпретированными. Потому надо либо разработать соответствующий язык (что маловероятно), либо подвергнуть эти разделы остракизму.
Вместе с тем, с философской точки зрения, номинализм более приемлем, чем реализм, так как опирается на идеи материализма, хотя это, конечно, наивный, непоследовательный его вариант, олицетворяющий скорее даже тенденции материализма, поскольку отрицает объективность общего в качестве свойства, присущего отдельным вещам. В этом отношении ближе к научному пониманию концептуализм, представляющий умеренный номинализм. Так, Г. Лейбниц, разделяющий этот взгляд, понимает проблему существования общего следующим образом. Допустим, перед нами стадо овец, состоящее из отдельных его голов: a, b, c, d. Следовательно, мы имеем объекты a, b, c, d и еще объект F (стадо). Но ведь стадо разбрелось окрест, и что осталось? Одни конкретные овцы. Таким образом, общее – это не что иное, как наши понятия, концепты ума. Они существуют наряду с именами индивидуальных предметов, но также лишь в качестве имен.
В результате мы имеем вполне противоречивую ситуацию. С одной стороны, реализм, удовлетворяющий потребностям математики, но философски неприемлемый. С другой стороны, номинализм, очень неудобный для использования в математическом применении, но философски более верный. Характеризуя указанную обстановку, польские логики прошлого столетия Е. Слупецкий и Л. Борковский пишут: «Номинализм вынужден отказаться от многих результатов современной логики и математики, где существенным образом используются переменные высших порядков и кванторы, связывающие эти переменные». Платонизм не сталкивается с подобными трудностями. Однако он «вызывает возражения философского характера, как направ-
_____________
1 Цит. по: Френкель А., Бар-Халлел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966. С. 400.
ление, признающее существование предметов, отличных от предметов конкретных» 1.
Итак, обнаруживается противоречие. Однако не должно же быть так, что философски верная позиция оказывалась ошибочной в ее математическом применении. Представляется, что выход из этого противостояния на пути обращения к концепции двух языков науки, развиваемой немецким логиком и философом XX в., работавшим позднее в Америке, Р. Карнапом.