Умозаключения из суждений с отношениями.

-- умозаключения, в которых посылки и заключение представляют собой суждения с отношениями родства, равенства, по степени, по величине, по времени и т. п.

Умозаключение, посылки и заключение которого являются суждениями с отношениями, называется умозаключением с отношениями. Например:

Петр — брат Ивана Иван — брат Сергея

Петр — брат Сергея

Посылки и заключение в приведенном примере — суждения с отношениями, имеющие логическую структуру xRy, где x и y – понятия о предметах, R- отношения между ними..

Логическим основанием умозаключений из суждений с отношениями являются свойства отношений, важнейшие из которых — 1) симметричность, 2) рефлексивность и 3) транзитивность.

1. Отношение называется симметричным (от греческого simmetria — «соразмерность»), если оно имеет место как между предметами х и у, так и между предметами у и х. Иначе говоря, перестановка членов отношения не ведет к изменению вида отношения. Симметричными являются отношения равенства (если а равно b, то и b равно а), сходства (если с сходно с d, то и d сходно с с), одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у, значит, и событие у произошло одновременно с событием х), различия и некоторые другие.

Отношение симметричности символически записывается:

xRy -> yRx.

2. Отношение называется рефлексивным (от латинского геflexio — «отражение»), если каждый член отношения находится в таком же отношении к самому себе. Таковы отношения равенства (если а=b, то а=а и b=b) и одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у, значит, каждое из них произшло одновременно с самим собой).

Отношение рефлексивности записывается:

xRy -> xRx ^ yRy.

3. Отношение называется транзитивным (от латинского trartivus — «переход»), если оно имеет место между х и z тогда, когда он имеет место между х и у и между у и z. Иначе говоря, отношени является транзитивным (переходным) тогда и только тогда, когда и отношения между х и у и между у и z следует такое же отношени между х и z.

Транзитивными являются отношения равенства (если а равно b и b равно с, то а равно с), одновременности (если событие х произс шло одновременно с событием у и событие у одновременно с событием z, значит, событие х произошло одновременно с событием z), отношения «больше», «меньше» (а меньше b, b меньше с, значит, меньше с), «позднее», «находиться севернее (южнее, восточнее, за паднее)», «быть ниже, выше» и т.п.

Отношение транзитивности записывается:

(xRy ^ yRz) -> xRz.

Для получения достоверных заключений из суждений с отношениями необходимо опираться на правила, вытекающие из свойств отношений.

Для симметричности – если xRy истинно, то yRx тоже истинно.

Для рефлексивности – если xRy истинно, то истинными будут суждения xRx и yRy. (a=b => a=a, b=b).

Для транзитивности – если xRy и yRz истинно, то суждение xRz также истинно. (К был на месте происшествия раньше Л. Л был на м/п раньше М. К был на м/п раньше М.)