НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

 

Пенза 2011

 

 

УДК 515 (07)

ББК 22.151.3 я 73

 

Рецензенты:

 

 

Л.А. Найниш,

Начертательная геометрия. Учебник. – Пенза: ПГУАС, 2011.. – c:355, ил.256.

Предлагаемый учебник написан на основе обобщения материалов, представленных в следующих изданиях: учебного пособия «Позиционные задачи. Тени», изданного в 1999 году; монографии «Как изображать трехмерный мир на плоскости», изданной в 1999 году; учебника «Начертательная геометрия», изданного в 2000 году; учебного пособия «Метод двух изображений. Моделирования основных геометрических элементов», изданного в 2000 году; учебного пособия «Теория построения изображений», изданного в 2010 году и научно-методического пособия «Моделирование оптимальной обучающей технологии», изданного в 2010 году.

В учебнике показаны значения изображений в жизни человека, как способ фиксации и хранения информации. Выявлен и сформулирован закон построения плоских изображений трехмерных объектов. Установлены условия, при которых плоские изображения сохраняют всю геометрическую информацию исходных объектов, становясь геометрическими моделями. Рассмотрены наиболее распространенные методы построения таких моделей: перспектива, аксонометрия, эпюр Монжа. Даны примеры решения основных позиционных и метрических задач, построения разверток и контуров собственных и падающих теней геометрических элементов различных реальных объектов. Предложены методики освоения этих методов.

Выявление логической структуры учебного курса позволило сформировать доказательную базу предлагаемого варианта учебного курса. Это, в свою очередь, существенно облегчает его восприятие.

 

© Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, 2011

ã Л.А.Найниш, 2011
ПРЕДИСЛОВИЕ

 

С давних пор человечество владеет языком изображений. Этот язык является универсальным средством общения. Такую универсальность обеспечивают следующие особенности изображений:

1. Они понятны людям любой национальности. Язык изображений является средством межнационального общения. Изображение, которое сделал индус, может быть понятно и русскому, и французу, и якуту. На основе этого возникла идея поиска контактов с внеземными цивилизациями. С помощью изображений земляне пытаются установить общение с жителями иных планет.

2. Язык изображений является также средством межвременного общения [9,10]. Современному человеку понятны изображения, которые сделаны несколько тысячелетий назад. Мы получаем информацию об уровне развития древнейших цивилизаций по изображениям, которые они нам оставили. Такую же информацию получат о нас наши потомки, которые будут жить много веков спустя.

3. Изображения являются информационно насыщенными в большей степени, чем письменность. Это обстоятельство обеспечило широкое применение изображений в технике и строительстве. Без чертежей невозможно создание и эксплуатация различных технических устройств и строительных сооружений

4. Неоценимую роль играют изображения как средство фиксации, хранения и обработки геометрической информации. Поскольку геометрической информацией обладают почти все реальные объекты, то фиксация этой информации в изображениях является важной составляющей человеческого бытия.

В зависимости от особенностей фиксируемой информации и целей ее фиксации все существующие изображения можно поделить на два вида: художественные и технические. Технические изображения, в свою очередь подразделяются на четыре подвида: перспектива, аксонометрия, эпюр Монжа и проекции с числовыми отметками (рис. 1).

Процесс создания этих изображений предполагает следующие отличия. Создание художественных изображений называется рисованием или живописью. Его характерной чертой является игнорирование использования специальных инструментов для проведения линий. Процесс создания технических изображений называется черчением, где проведение различных линий требует использования специальных инструментов.

Из перечисленных видов изображений раньше всех применялась перспектива. Есть сведения, что египетские пирамиды, храмы древней Греции и Рима были построены по изображениям, которые напоминают перспективные [17]. Попытки объяснить построение перспективных изображений с геометрических позиций были еще в трудах древнегреческого ученого Эсхила (525 – 456 гг. до н. э.). Он внес значительный вклад в формирование наблюдательной перспективы.

 

 

Рис. 1. Виды изображений

 

Использовал геометрию для описания процесса построения перспективных изображений и древнегреческий ученый Демокрит (460 – 370 гг. до н. э.). В конце первого века до новой эры греческий ученый Витрувий обобщил труды Эсхила и Демокрита. Это позволило сформулировать правила построения перспективы. Первые попытки сформулировать правила построения теней отмечены во втором веке новой эры в работах еще одного древнегреческого ученого – Птолемея [14]. В результате перспектива раньше всех остальных подвидов изображений обрела теоретическую базу.

Новый толчок в своем развитии теория перспективы получила в эпоху возрождения. Исследования в области построения перспективных изображений подхватили такие ученые, как Филиппо Брунеллески (1377 – 1446), Лоренцо Гильберти (1378 – 1455), Леон Батиста Альберти (1404 – 1472) и Пьеро дель Борго. Наибольший вклад в построение теории перспективы внесли титаны Возрождения – Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер.

Успешно развивалась теория перспектива в трудах русских ученых и художников, таких как А.Г. Венецианов, С.К. Зарянко, П.П. Чистяков, А.П. Сапожников, Я.А. Савостьянов, Н.А. Рынин, Н.И. Чечелев, Н.Н. Чернецов, И.П. Машков, и многих других. В настоящее время эта теория используется художниками, скульпторами, архитекторами и дизайнерами при изображении трехмерные объектов на плоскости.

Следует обратить внимание на обратную перспективу, которая использовалась в русских иконах, ее особенности долго оставались загадкой, раскрытой только в XX веке в трудах П.А. Флоренского и Б.В. Раушенбаха.

Необходимость построения изображений, обладающих не только наглядностью, но и точностью, вызвала к жизни аксонометрию, впервые использованную в XVI веке для иллюстрации работ Г. Агриколы. Примерно в то же время Жирар Дезарг предложил строить перспективу по координатам. Тем самым он положил начало методу аксонометрических проекций, который до сих пор применяется как средство выражения технической и архитектурной мысли. [6].

Бурное развитие техники требовало изображений, которые сохраняли форму и размеры исходных объектов. Это требование было удовлетворено Гаспаром Монжем в VIII в. Он предложил такой способ построения изображений, который позволял максимально возможно сохранять форму и размеры исходных объектов, это достоинство сочетается с существенным недостатком: в этих изображениях практически отсутствовала наглядность. Иначе говоря, такие изображения мало напоминали те, которые воспринимает глаз человека. В настоящее время, несмотря на указанный недостаток, такой способ широко используются в самых различных областях науки и техники.

Эпоха путешествий требовала создания изображений, в которых нужно было фиксировать геометрическую информацию об объектах, имеющих большие размеры длины и ширины по сравнению с высотой. Это были рельефы различной местности. Они изображались с помощью проекций с числовыми отметками. Этот метод лег в основу создания навигационных карт.

В результате можно сказать, что изображения являются очень важной частью жизни человека. Это способ фиксации и хранения информации. Изображения обладают большей информационной насыщенностью по сравнению с письменностью. В настоящее время, когда объем информации растет с катастрофической быстротой, фиксация информации в изображения имеет несомненное преимущество.

Это обстоятельство обостряет проблему, связанную с обучением способам создания плоских изображений трехмерных объектов. К ним относятся черчение и рисование.

В настоящее время бытует мнение, что рисовать может научиться только человек, обладающий соответствующими способностями. Но если бросить взгляд назад, мы увидим, что были времена, когда читать и писать могли только избранные. Все остальные считались, как бы неспособными обучиться этим премудростям. Прошло не так уж много времени, и неграмотный человек стал вызывать удивление. Но вот отношение к обучению рисованию с тех времен мало изменилось, хотя попытки обучать всех поголовно изображению трехмерного мира на плоскости все-таки существуют. В школах введены уроки рисования. Но результаты этой попытки для многих оканчиваются плачевно. Они получают пожизненный приговор: к рисованию не способен. Этот приговор конечно не смертелен, и человек может с ним жить долгую жизнь, не понимая, что многие аспекты реальной действительности остались за пределами его сознания

С черчением, на первый взгляд, дело обстоит несколько лучше. Это объясняется жесткой необходимостью владения способами построения технических изображений. В соответствующих учебных заведениях изучается теоретическая основа создания таких изображений (начертательная геометрия). Но почему-то в школе изучают ее прикладную составляющую: черчение. Таким образом нарушается логика в освоении способа построения технических изображений. В результате у большинства людей складывается впечатлении, что черчение – это лишь умение проводить линии в соответствии с требованиями стандартов.

Как же обучить людей способам создания плоских изображений трехмерных объектов? Существующие методики обучения рисованию и черчению пока не дают. Причиной этому оказывается отсутствие понимания основных законов построения плоских изображений трехмерных объектов.

1. Что общего в возникновении художественных и технических изображений? Иначе говоря, существуют ли закономерности этого процесса?