Статистическая обработка экспериментов второго порядка
В принципе производится по той же схеме, что и результатов экспериментов по планам 1-го порядка. Отличие – в способах вычисления оценок коэффициентов регрессии и свободного члена.
Оценка производится МНК, но для планов 2-го порядка в общем случае не существует простых формул типа (8.3). Такие формулы можно получить только для симметричных планов:
(8.7)
; 
.
Коэффициенты k1(n) – k7(n) для разных симметричных планов второго порядка известны и приведены они в табл. 7.1. Эти коэффициенты зависят также от формы области планирования. В табл.7.1 естественная область планирования (со звездными точками) обозначена римской цифрой ІІ, область в виде гиперкуба – І, в виде гипершара – ІІІ. При переходе к другой области планирования коэффициенты должны быть пересчитаны по соотношениям:
Исходная область планирования Новая область планирования
k1(n) k1(n)
k2(n) C2 k2(n)
k3(n) C2 k3(n)
k4(n) C4 k4(n) (8.8)
k5(n) C4 k5(n)
k6(n) C4 k6(n)
k7(n) C4k7(n)
Таблица 8.1
Значения коэффициентов ki(n)·105 для симметричных планов
| n | Вид плана | Область планирования | k1(n) | k1(n) | k1(n) | k1(n) | k1(n) | k1(n) | k1(n) |
| ОЦКП; 32 РЦКП | І ІІ | ||||||||
| ОЦКП РЦКП | ІІ ІІ | ||||||||
| ОЦКП РЦКП | ІІ ІІ | ||||||||
| ОЦКП 25 ОЦКП 25-1 РЦКП 25 РЦКП 25-1 Хартли Хартли | ІІ ІІ ІІ ІІ І ІІІ | -9091 -93968 | |||||||
| ОЦКП 26 ОЦКП 26-1 РЦКП 26 РЦКП 26-1 | ІІ ІІ ІІ ІІ | ||||||||
| ОЦКП 27-1 РЦКП 27-1 | ІІ ІІ |
Здесь С – константа преобразования, которая для симметричных планов одинакова для всех факторов. Находится из табл.8.2.
Таблица 8.2
Константы преобразования С при переходе от естественной
области планирования ІІ к гиперкубу І или гипершару ІІІ
| План | Получен. область | Число факторов | ||||||
| ОЦКП, ядро ПФЭ 2n | І ІІІ | 1,000 1,414 | 1,215 1,732 | 1,414 2,000 | 1,596 2,236 | 1,761 2,449 | 1,909 2,646 | 2,045 2,828 |
| ОЦКП, ядро ДФЭ 2n-1 | І ІІІ | - - | - - | - - | 1,547 2,236 | 1,724 2,449 | 1,885 2,646 | 2,029 2,828 |
| ОЦКП, ядро ДФЭ 2n-1 | І ІІІ | - - | - - | - - | - - | - - | - - | 2,000 2,828 |
| РЦКП, ядро ПФЭ 2n | І ІІІ | 1,414 1,414 | 1,682 1,732 | 2,000 2,000 | 2,378 2,378 | 2,828 2,828 | 3,364 3,364 | - - |
| РЦКП, ядро ДФЭ 2n-1 | І ІІІ | - - | - - | - - | 2,000 2,236 | 2,378 2,449 | 2,828 2,828 | - - |
Например, для преобразования матрицы плана ОЦКП при n = 2 от естественной области к гиперкубу константа С = 1 и, следовательно, план и так вписан в гиперкуб и никакого преобразования не требуется. Для преобразования к гипершару константа С = 1,414 и на нее следует разделить все кодированные значения факторов в матрице плана. В табл. 7.3 приведены матрицы планирования ОЦКП n = 2 для естественной области и преобразованной к гипершару. При вычислении коэффициентов регрессии эти же константы С используются для корректировки величины коэффициентов ki(n) по соотношениям (8.8).
Таблица 8.3
Матрицы плана ОЦКП для естественной области планирования
и гипершара
| № опыта | естественная область планирования | область плани- рования - гипершар | ||
| Х1 | Х2 | Х1 | Х2 | |
| -1 | -1 | -0,707 | -0,707 | |
| +1 | -1 | +0,707 | -0,707 | |
| -1 | +1 | -0,707 | +0,707 | |
| +1 | +1 | +0,707 | +0,707 | |
| -1 | -0,707 | |||
| +1 | +0,707 | |||
| -1 | -0,707 | |||
| +1 | +0,707 | +0,707 | ||
Для несимметричных планов оценивание коэффициентов регрессии производится по общей методике, как и для пассивных экспериментов.
Оценивание дисперсий коэффициентов регрессии для симметричных планов возможно по сравнительно простым соотношениям:
(8.9)
Для несимметричных планов используется общая схема обработки результатов пассивных экспериментов.
Проверка значимости коэффициентов регрессии производится
так же, как и для планов 1-го порядка. Нужно только помнить, что если план не ортогонален и оценки являются смешанными, то при отбрасывании какого-либо коэффициента следует остальные коэффициенты пересчитать по формулам:
а) если отбрасывается свободный член а0:
б) если отбрасывается коэффициент аqq, q = 1,2 ... n;
При этом изменяются и коэффициенты ki(n), необходимые для последующей проверки значимости других коэффициентов регрессии данного вида и новой их коррекции в случае необходимости:
а) если отбрасывается свободный член а0:
;
б) если отбрасывается коэффициент аqq:
.
Т.о. последовательно осуществляя проверку значимости коэффициентов регрессии и производя их соответствующую коррекцию, получают модель со всеми значимыми коэффициентами.
Выполнение остальных пунктов статистической обработки экспериментов по планам 2-го порядка не отличается от соответствующих пунктов последовательности для экспериментов по планам 1-го порядка.