Совокупность всех верхних границ Е обозначается через Еs, всех нижних границ - через Еi. В случае, когда Еs (Еi) непусто, говорят, что Е ограничено сверху {снизу). Если элемент z принадлежит пересечению (соответственно, ), то он является наибольшим {наименьшим} элементом множества Е. Выражение типа (Еs)i эквивалентно Еsi. Непустота пересечения {} означает, что среди верхних (нижних) границ Е имеется наименьшая (наибольшая); ее называют точной верхней {нижней) границей, или верхней {нижней) гранью множества Е.
Утверждение. Пересечения {} не могут содержать более одного элемента
Доказательство.
Пусть. Тогда х ≤ у, поскольку. Аналогичным образом убеждаемся в справедливости противоположного неравенства y ≤ x А тогда х = у.
Верхняя (нижняя) грань, если она существует, обязательно единственна. Точная верхняя граница (supremum) множества Е обозначается символом sup Е, точная нижняя граница (infimum) — символом inf Е.
Если элементы Е занумерованы с помощью некоторого множества индексов Ξ = {ξ}, то применяются обозначения
sup Е = inf Е =
Если Е состоит из конечного числа элементов х1,х2,, ..., хn, то пишут
sup Е = или sup Е =
inf Е= или inf Е= .
Основные свойства верхних и нижних границ в произвольном частично упорядоченном множестве X.
1. Если то , .
2. Если и существуют sup Е1, и sup Е2 (inf Е1 и inf Е2 ), то
sup Е1 ≤ sup Е2 inf Е1 ≥ inf Е2
3.Соотношения х ≤ у, , равносильны.
4. Пусть E = {Е}—непустой класс подмножеств X, каждое из которых имеет верхнюю {нижнюю) грань. Предположим далее, что совокупность этих граней в свою очередь имеет supremum (соответственно infimum). Тогда этот последний представляет собой верхнюю (нижнюю) грань объединения .
Это свойство называется свойством ассоциативности граней. Его можно выразить формулами
и
предполагая, что фигурирующие в правых частях грани существуют.
Свойства 1-3 очевидны.
Остановимся на доказательстве ассоциативности, ограничившись, случаем верхних граней. Обозначим
,
Для произвольного элемента можно указать множество , которому он принадлежит. Поэтому , Теперь, взяв произвольно , замечаем, что в силу 1будет для каждого , то есть Видим, что элемент я есть верхняя граница для множества всех , и поэтому . Доказали, что элемент y есть наименьшая из верхних границ множестваF, то есть точная верхняя граница.
Cвойства, связанные с преобразованием границ при изоморфизмах и дуальных изоморфизмах.
5. Если φ - изоморфизм, то всегда
,
.
6. Если φ - изоморфизм, то всегда
,
.
при условии, что хотя бы одна из граней, фигурирующих в равенстве, существует.
7. Если φ - дуальный изоморфизм, то всегда
,
.
8. Если φ - дуальный изоморфизм то всегда
,
.
с той же оговоркой, что и в 6.
Отметим в заключение очевидную изотонность операций и .