Точная верхняя (нижняя) граница множества

Если элемент z принадлежит пересечению множества E и множеству всех его верхних границ E^s (соответственно нижних границ Eⁱ), то есть (соответственно ), то это элемент z является наибольшим (наименьшим) элементом множества E. E^s и Eⁱ также являются множествами и для них можно ввести понятие верхней и нижней границ. Нижняя граница множества верхних границ (E^s)ⁱ обозначается для простоты записи без скобок E^si. Непустота пересечения () означает, что среди верхних (нижних) границ E имеется наименьшая (наибольшая). Ее называют точной верхней (нижней) границей, или верхней (нижней) гранью множества E.