Структура

Частично упорядоченное множество X называется структурой, если в нем любое двухэлементное множество имеет точные границы и .

Лемма 1. В любой структуре всякое конечное множество элементов имеет точные границы.

Упражнения

1.Упростить выражение

2. Докажите, что следующие условия эквивалентны 1, 2. , 3 , 4, 5 .

3. Записать множество через пересечение ().

4. Докажите, что . Как называется этот закон?

5. Докажите, что . Как называется этот закон?

1. Группа студентов насчитывает 25 человек. Из них 15 любят математику, 10 — физику, 8 — не любят ни математику, ни физику. Сколько студентов любят и математику, и физику?

2. На собрании студентов-отличников были как студенты второго курса, так и студенты третьего курса. Все они либо любители прозы, либо любители поэзии. Студентов-юношей было 16, а любителей прозы — 24. Студентов-девушек было ровно столько, сколько юношей любителей прозы. Сколько студентов было на собрании?

3. В группе из 100 студентов английским языком владеют 28 человек, немецким — 30, французским — 42, английским и немецким — 8, анг­лийским и французским— 10, немецким и французским— 5, а всеми тремя языками владеют 3 студента. Сколько студентов не знают ни одно­го из названых языков?

 

Комментарий

ОТСТУПЛЕНИЕ

Существование и анализ парадоксов в теории множеств способствовали развитию так называемого конструктивизма — направления в математике, в рамках которого рассматриваются только такие объекты, для которых известны процедуры (алгоритмы) их порождения. В конструктивной математике исключаются из рассмотрения те понятия и методы классической математики, которые не заданы алгоритмически

 

Первым и важнейшим математическим пространством является трехмерное эвклидово пространство, предоставляющее собой приближенный абстрактный образ реального пространства. Общее понятие пространства в математике сложилось в результате обобщений и изменений понятий геометрии эвклидова пространства.

В современной математике пространство — это множество объектов, называемых точками, введенными отношениями между точками и теми или иными операциями над элементами множеств.

Примерами пространств могут служитьметрическое пространство, нормированное пространство, пространство событий, пространство состояний и целый ряд других пространств.Метрическое пространство — это множество точек Х с расстоянием между ними d>0, удовлетворяющем трем аксиомам:

1) d(х, у) =0 тогда и только тогда, когда х=у (аксиома идентичности);

2) d(х, у) = d(у, х) (аксиома симметрии);

3) d(х, у) = d(х, z) + d(y,z) + d(y,z), гдех,у,zХ (аксиома треугольника).

Расстояние d(х, у) называетсяметрикой, а пара (х, d) —метрическим пространством. Простейшим примером метрического пространства является множество действительных чисел Х с расстоянием между ними d = х - у.

В двумерном эвклидовом пространстве Е²(плоскости) расстояние между двумя точками М₁(х₁,y₁), М₂(х₂ ,у₂) определяется по выражению d² = (х₁ – х₂)² + (у₁ – y₂)². Эта же формула распространяется на трехмерное эвклидово пространство d² = (х₁ – х₂)² + (у₁ – y₂)²+ (z₁ - z₂)² и на многомерное его обобщение Еⁿ, в котором элементами множества Х являются упорядоченные наборы <х₁, х₂, ..., х_i ..., х_n> действительных чисел: расстояние между двумя точками этого пространства определяется по выражению

d² = (х₁ – х₂)² + (у₁ – y₂)² + (z₁ - z₂)²

 

 

Линейные пространства — это такие множества, элементы которых удовлетворяют следующим условиям:

1) для каждой пары элементов х,уХ определен третий элемента zХ, называемый их суммой и обозначаемой как х+у. При этой сумма удовлетворяет следующим условиям: х+у=у+х,

x+(у+v) = (x+у)+v;

2) во множестве Хсуществует такой элемент 0, что х+0 = х для всех хX;

3) для всех хХ существует такой элемент-х, что х+(-х) = 0;

4) для любого числа а и любого элемента хX определен элемент а такой, что (а+β)х = ах+βx, а(х+у) = ах + ау.

Очевидным примером линейного пространства является множество действительных чисел с обычными правилами их сложениям умножения. Если n-мерном эвклидовом пространстве E* упорядоченные наборы чисел <х₁, ..., х_i, ..., х_n>Х считать координатами векторов с условием, что нулевой вектор – это вектор с нулевыми значениями <х₁, ..., х_i, ..., х_n>, то такое векторное пространство линейное, потому что операции действия с вектором отвечают перечисленным выше аксиомам.

Дальнейшим расширением понятия линейного пространства является линейное нормированное пространство. Это такое пространство, в котором для каждого элемента хX существует неотрицательное число ||х||, называемое его нормой и удовлетворяющее следующим условиям:

||х|| = 0, тогда и только тогда, когда х = 0;

||ах|| = а||х||, где а — некоторое число;

||х+y|| ≤ ||х|| + ||y||

Линейное нормированное пространство является метрическим пространством с нормой d = ||х - y||, так как эта норма удовлетворяет аксиомам метрического пространства:

||х - y|| = 0, если х = у; ||х - y|| = ||y-х||; ||х - y|| ≤ ||х - z|| + ||z - y||

Нормой ||х|| в одномерном векторном пространстве Е¹является абсолютная величина х. Нормой двумерного пространства (плоскости) Е² является длина вектора, вычисляемая по выражению ||х|| = . Для n-мерного векторного пространства норма ||х|| определяется по аналогии с двухмерным пространством

||х|| = .

В заключение следует сказать, что в терминах линейных векторных пространств формулируются задачи математического программирования, и в частности, дискретного программирования, которое относят к задачам дискретной математики.