Изоморфизм

Наука, изучающая алгебраические операции называется алгеброй. Это понятие по мере изучения курса будет конкретизироваться и углубляться. Алгебру интересует только вопрос, КАК действует та или иная алгебраическая операция f, а не на чем она действует, т.е. M. Для этой цели, т.е. исключения M, вводится такое важное понятие, как изоморфизм, которое позволяет расширить область применения теории алгебраических структур. Поэтому раскроем его содержание.

Отображение µ множества X на множество Y является изоморфизмом (изоморфным отображением), если оно взаимно однозначно и сохраняет порядок, то есть если x ≤ y, то µ(x) ≤ µ(y).

Обратное отображение также является изоморфизмом. Такие отображения, то есть если x ≤ y, то µ(x) ≤ µ(y) называют изотонными.

Взаимно однозначное отображение ω множества X на множество Y называется дуальным изоморфизмом, если x ≤ y следует ω(x) ≥ ω(y). Если такое отображение существует, то X и Y дуально изоморфны.

Алгебры
Множеств	T Объединение	T Пересечение	Дополнение	Симметрическая разность
Высказываний	x y z и и и и л и л и и л л л дизъюнкция	x y z и и и и л и л и и л л л конъюнкция	x z и л л и отрицание	x y z и и и и л и л и и л л л Сложение по модулю 2
Контактов

 

Изоморфные частично упорядоченные множества одинаково устроены в смысле операций, поэтому в алгебре их не различают или рассматривают как точные копии друг друга – аналогично тому, как для студента безразлично какое издательство издало роман «Война и мир» Л. Н. Толстого или каким шрифтом он напечатан, если конечно его интересует содержание романа.

Поскольку алгебра определяется множеством и операциями на нем, а множеств и операций существует много, то и алгебр также существует много. Здесь будем рассматривать булеву алгебру и изоморфную ей алгебру Кантора, графы, решетки, моноиды, полугруппы, группы и коснемся колец и тела.

Поэтому нужно разобраться с понятием множества и соответствия (отображения), а затем с некоторыми алгебрами и алгебраическими структурами. Одной из таких алгебр является булева алгебра.