N-арные отношения

По аналогии с декартовым произведением двух множеств X,Y можно построить декартово произведение XYZ трех множеств X,Y,Z и вообще декартово произведение Х₁Х₂... Х_n п множеств Х₁,Х₂, ... ,Х_n.

Декартовым произведением Х₁Х₂... Х_n п множеств Х₁,Х₂, ... ,Х_n называется множество всех упорядоченных п-ок <х₁, х₂,..., x_n>, составленных из элементов этих множеств так, что Х₁Х₂... Х_n= {<х₁, х₂,..., x_n>|x₁X₁, x₂X₂, …, x_nX_n}. Любое непустое подмножество N декартова произведения Х₁Х₂... Х_n п множеств Х₁,Х₂, ... ,Х_n называетсяn-арным отношением между Х₁,Х₂, ... ,Х_n и записывается так: NХ₁Х₂... Х_n.

В том случае, если M₁ = M₂ =…= M_n, то пишут Mⁿ. Часто Mⁿ называют универсальным отношением. Точка на плоскости может рассматриваться как упорядоченная пара, а в пространстве - упорядоченная тройка. Координатное представление впервые ввел Рене Декарт (1596-1650), поэтому оно и называется «декартово произведение».

Декартовым произведением

множеств М₁, М₂, М₃, . . . , М_п называется множество

.

Элементами декартова произведения являются всевозможные последовательности, каждая из которых состоит из п элементов, причем первый элемент принадлежит множеству М₁, второй — множеству М₂,..., п-й элемент — множеству М_n.

Теорема. Для конечных множеств A и B, мощность декартова произведения равна произведению мощностей множеств декартового произведения, т.е. |AB| = |A| |B|

Доказательство. Первый компонент упорядоченной пары можно выбрать |A| способами, второй |B| способами. Всего упорядоченных пар <a_ib_j> будет |A| |B| ч.т.д.

Пример 1. Сколько вариантов окраски квадрантов круга возможно, если допускается пять цветов краски.

Решение:

Кортеж длины 4, каждая компонента которого есть цвет краски, есть элемент декартового произведения. Пусть цвета краски образуют множество M = {к,б,з,с,ф}. Тогда М⁴ = М  М  М  М и М⁴ = 5⁴ = 625.