Представление функции в терминах отношений
Функцией называется бинарное отношение f, если из 
и 
следует, что y = z.
Подмножество 
, называется функцией, если для каждого элемента 
, найдется не более одного элемента 
вида 
; при этом если для каждого элемента х имеется один элемент у вида , то функция называется всюду (полностью) определенной, в противном случае — частично определенной (недоопределенной).
Множество Мx образует область определения функции F, множество Му — область значений функции F. Часто вместо записи используют запись у = F(х); при этом элемент х называют аргументом или переменной, а у — значением функции F.
Пусть X, Y - некоторые множества. Говорят, что задана функция (отображения), действующая из множества X во множество Y, если задан закон или правило f, по которому каждому элементу x из множества X ставится в соответствие единственный элемент y из Y: y = f(x).
Пример. Пусть X = R (все вещественные числа) и Y = [-1; 1]. Рассмотрим функцию y = sin x. Каждому элементу из X поставлен в соответствие элемент из Y: пусть x = р/2, тогда y = sin р/2 = 1.
Множество Y называется множеством значений функции f. Элемент y = f(x) 
Y называют образом элемента x при отображении f. Элемент x - прообраз элемента y под действием отображения f. Множество X называется множеством прообразов отображения f.
Пример. Для функции y = sin x: x = R - множество прообразов; Y:=[-1; 1] - множество значений функции; y = 1 - образ x = р/2 при данном отображении (y = sin р/2 = 1 ), x = р/2 - прообраз элемента y = 1 при данном отображении.
Сопоставим с декартовым произведением двух множеств прямоугольную решетку, узлы которой взаимно однозначно соответствуют элементам декартова произведения. Подмножество декартова произведения на рисунках будем отмечать штриховкой соответствующих элементов.
Пример 1.1. На рис. 1.2, а изображено подмножество декартова произведения множеств Мx = {х1, х2, х3, х4} и Му = {у1, у1, у3}, не являющееся функцией; на рис. 1.2, б,-являющееся полностью определенной функцией; на рис. 1.2,в — частично определенной функцией.
Количество аргументов определяет местность функции. Выше были рассмотрены одноместные функции. Аналогично понятию декартова произведения двух множеств определим декартово произведение п множеств.
Если множество Мx в определении функции у = F(х) является декартовым произведением множеств Мx1, Мx2, . . . , Мxn, то получаем определение п-местной функции