Подмножество называется замкнутым относительно операции φ, если
Если X замкнуто относительно всех , то называется подалгеброй алгебры , где , k = ni/
Пример 1. Алгебра - поле действительных чисел.
Тип – (2,2).
Все конечные подмножества, кроме {0}, не замкнуты относительно сложения и все конечные подмножества, кроме {0} и {0,1}, не замкнуты относительно умножение.
Кольцо целых чисел образует подалгебру рациональных и, соответственно, вещественных чисел.
Пример 2. Алгебра - алгебра подмножеств над множеством M.
Тип – (2,2,1).
При этом - подалгебра.
Пример 3. Алгебра гладких функций , где - операция дифференцирования.
Множество полиномов одной переменной x образует подалгебру которая обозначается R[x].
Тип – (1).
Теорема. Непустое пересечение подалгебр образует подалгебру.
Доказательство. Пусть - подалгебра алгебры . Тогда
Замыканием множества относительно сигнатуры Σ (обозначается [X]Σ) называется множество всех элементов (включая сами элементы X), которые можно получить из X, применяя операции из Σ.