Пусть на множестве М задана одна бинарная операция. Рассмотрим порождаемые ею алгебры, но предварительно рассмотрим некоторые свойства бинарных операций.
Бинарная операция * на множестве М называется ассоциативной, если a*(b*c) = (a*b)*c для всех a, b, c принадлежащих множеству М.
Бинарная операция * на множестве М называется коммутативной, если a*b = b*a для всех a, b принадлежащих множеству М. Требования коммутативности и ассоциативности независимы, т. из ассоциативности не следует коммутативность и наоборот.
Пример.
1. На множестве целых чисел n и m задана алгебраическая структура <М, *> такая, что n*m = -m – n = . Эта алгебраическая структура коммутативна, что очевидно n*m = -n – m = -m – n = m* n, но не ассоциативна:
m*(n*p) = -m - (n*p) = -m - (-n - p) = -m + n + p;