Группоид

Алгебра вида <М, f₂>называется группоидом.

Если f₂ — операция типа умножения (), то группоид называют мультипликативным, если f₂ - операция типа сложения (+), то аддитивным.

Пусть А = <М, f₂) — группоид; обозначим операцию f₂ как . Тогда элемент называется правым нейтральным элементом группоида А, если для всякого выполняется равенство те = т ; элемент группоида А = <М,> называется левым нейтральным элементом, если для всех выполняется равенство ет = т. В этих определениях использовались выражения «все элементы», «всякий элемент». В дальнейшем для краткости вместо слов «все» или «всякий» будем использовать символ (перевернутая буква А — первая буква английского слова All — все). Если элемент е, , группоида А = <М, > является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Никакой группоид не может иметь более одного нейтрального элемента. Действительно, если