Целые числа по модулю m

Дано кольцо целых чисел <Z; +, >.

Напомним. Алгебра <М, , +>, которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению — абелевой группой, причем умножение справа и слева связано со сложением законами дистрибутивности называется кольцом.

Возьмем целое число m>1. Зададим отношение эквивалентности на множестве целых чисел Z по следующему правилу:

ba b - a = m q для некоторого .

Напомним. Пусть Е – эквивалентность на множестве A. Классом эквивалентности элемента называется множество .

Класс эквивалентности элемента a по модулю m – это множество = {…, -3m+a, -2m+a, -m+a, a, m+a, 2m+a, 3m+a, …}, которое обозначается через a+Zm или просто .

 

Пример. Если m=5, то при соответственно a=0, 1, 2, 3, 4 классы эквивалентности элементов a по модулю 5 будут соответственно равны

; ;

; .

Таким образом, множество Z разбивается на непересекающиеся подмножества , , , , , т.е. Z = и попарные пересечения и т.д.

Напомним. Множество называется фактор-множеством множество A по отношению E.

Фактор-множеством целых чисел Z по отношению целые числа по модулю 5 является множество . Мощность этого множества равна 5.

В общем случае множество содержит m элементов.

Вместо записи пишут b ≡ a (mod m) читается «b равно a по модулю m» или «b сравнимо с a по модулю m».

Множество обозначается также через Z_m и называется множеством вычетов или множеством целых чисел по модулю m.