Теорема

Центр свободного дерева состоит из одной вершины или из двух смежных вершин:

Z(G) = 0&k(G) = 1 → С(G) = К₁ С(G) = К₂.

Доказательство

Для деревьев К₁ и К₂ утверждение теоремы очевидно. Пусть теперь G(V,Е) — некоторое свободное дерево, отличное от К₁ и К₂. Рассмотрим граф G'(V',Е'), полученный из G удалением всех висячих вершин. Заметим, что G' — дерево, поскольку ацикличность и связность при удалении висячих вершин сохраняется. Далее, если эксцентриситет е_G(v) = d(v,и), то и — висячая вершина в дереве G (иначе можно было бы продолжить цепь «за» вершину и). Поэтому vV' е_G(v) = е_G'(v)+1 и при удалении висячих вершин эксцентриситеты оставшихся уменьшаются на 1. Следовательно, при удалении висячих вершин центр не меняется, С(G) = С(G'}. Поскольку дерево G конечно, то удаляя на каждом шаге все висячие вершины, в конце концов за несколько шагов придём к К₁ или К₂.