Булевой функцией от n аргументов x1, x2, … ,xn, называется функция f из n-ой степени множества {0, 1} в множество {0, 1} f: {0,1}n .→ {0,1}, т.е. функция, которая произвольному набору из нулей и единиц ставит в соответствие значение функции f(δ1,δ2, … ,δn){0,1}.
Функции алгебры логики (ФАЛ) называются также булевыми функциями, двоичными функциями и переключательными функциями.
Булевой функцией описываются преобразования некоторым устройством входных сигналов в выходные. Пусть устройство f имеет n входов x1, x2, … ,xn на которые может подаваться (1) или не подаваться (0) ток и один выход, на котором ток есть (1) или (0). Таким образом, значение переменной xi = 1 интерпретируется как поступление тока на i-й вход, а xi = 0 - как не поступлении тока. Значение на выходе устройства f(δ1,δ2, … ,δn) = 1, означает ток на выходе при заданном входе и f(δ1,δ2, … ,δn) = 0 - тока на выходе нет.
Иначе говоря, булева функция – это функция, и аргументы и значение которой принадлежит множеству {0, 1}. Множество {0, 1} мы будем в дальнейшем обозначать через B.
Булеву функцию от n аргументов можно рассматривать как n-местную алгебраическую операцию на множестве B. При этом алгебра <B;W>, где W – множество всевозможных булевых функций, называется алгеброй логики.
В дискретной математике большую роль играют конечные функции.
Конечной функцией называют отображение одного конечного множества в другое.
Важный класс таких функций образуют булевы функции.
Булева функция (от n переменных) - это произвольное отображение вида
f: Bn → B, B={0,1};
Булева функция определена на множестве всех n-элементных последовательностей (n-элементных кортежей) нулей и единиц и принимает два возможных значения: 0 и 1.
Булева константа - это индивидная константа с областью значений {0,1}. Таким образом, существует две булевы константы: 0 и 1. По определению принимается, что каждая булева константа есть также булева функция от 0 переменных (нульарная операция).
Булево переменное - это индивидное переменное с областью значений {0,1}, т.е. это переменное, которое может принимать только два значения: 0 и 1.
Тогда булева функция f: {0,1}n → {0,1} задается y = f(x1, . . . , xn), в которой каждое булево переменное xi(i = 1, . . .,n) и функция f принимают два возможных значения: 0 и 1.
Переменные x1, . . . , xn называют - переменными булевой функции f.
Кортеж из множества {0,1}n называется набором значений переменныхx1, . . . , xn . Мощность этого множества 2n
Число функции f: M → N равно NM (2 в степени 2n)
Булевой функции можно придать другой смысл.
1 – истина
0 – ложь
Тогда из простых высказываний можно составить сложное.
Алгебра логики - множество высказываний и операций - одной унарной и 4 бинарных:
А1 = ‹b, {, , , → , ~}›
: {0,1} → {0,1} - отрицание
: {0,1}2 → {0,1} - конъюнкция (лог. умножение) – "и"
: {0,1}2 → {0,1}- дизъюнкция (лог. сложение) - "или"
Или1 – включено, 0 - выключено.
Тогда получаем переключательную функцию или двоичную функцию
Примеры
Параллельное и последовательное соединения
Двоичное дерево