Подмножество, собственное подмножество

После того как введено понятие множества, возникает задача конструирования новых множеств из уже имеющихся, то есть определить операции над множествами.

Множество М', каждый элемент, которого является элементом другого множества М, называется подмножеством данного множества М. Таким образом, множество М'называется подмножеством множества М тогда и только тогда, когда любой элемент множества М' принадлежит множеству М:

,

где - знак включения подмножества; — «если..., то....», — «если и только если...».

Или это же можно записать в виде импликации

Множества М' и М могут совпадать. Невключение подмножества М'в множество М обозначается так: .

Для выделения подмножества М_а М_b можно использовать какое-либо свойство присущее только элементам из М_а.

Символическая запись А М (здесь - символ отношения включения всех элементов А в М).

Графической интерпретацией этого отношения между множеством может быть диаграмма, или индикатором (характеристической функцией):

xA, xM, A M f:M → {0,1}.

Логическая экспликация понятия подмножества А множества М с агрегатной и атрибутивной точек зрения следующая:

(AM) ~ (х((xA) → (xM))) (1)

(AM) ~ (x((xA) → (xM))) (2)

здесь метасимволы ~ и → следует считать соответственно как "эквивалентность" и "если…то".

Замечание:

1) Говорят что индикатор f_A(х) множества А, определенный на множестве М, задает четкое подмножество А множества М (индикатор множества условно записывают f_A(х): М → {0,1}).

Пусть M = {x₁,x₂,x₃,x₄,x₅}, A = {x₂,x₃,x₅}. Так как A ‹‹не строго содержится ›› в M, то, используя понятия характеристической функции множества A, имеем:

A={‹x₁,0›, ‹x₂,1›, ‹x₃,1›, ‹x₄,0›, ‹x₅,1›}.

В этом выражении множество есть множество кортежей, первой компонентой которых являются элементы множества M, а второй компонентой – принадлежности элемента множества M множеству A.

2) Если степень принадлежности множества M множеству A есть субъективно множественная оценка

то говорят о нечетком подмножестве A множества М (множество М всегда четко!).

3) (AB) ~ ((xU):

Пример:

1) Множество студенток-красавиц ИСТАС, есть нечеткое подмножество A всех студенток ИСТАС M, т.е. A ‹‹не строго содержится в›› M, (очевидно, что понятие "красавица" для каждого человека субъективно и, следовательно, степень его оценки той или иной студентки различна).

2) Пусть M = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Привести подмножество "большие цифры". Возможный вариант:

A={‹0,0›,‹1,0›,‹2,1/1000›,‹3,1/100›,‹4,1/10›,‹5,0.5›,‹6,0.6›,‹7,0.7›,‹8,0.9›,‹9,1›}. Здесь первая компонента каждого кортежа есть цифра множества M, а вторая компонента этих же кортежей есть степень принадлежности цифры к искомому подмножеству.