В процессе изучения курса будем различать объектный язык теории множеств и метаязык, средствами которого изучается объектный язык.
Под языком теории множеств будем понимать реляционную систему, основным множеством которой являются символы алфавита A, а отношения позволяют получать синтаксически правильные языковые выражения, среди которых выделяют формулы F.
В этом плане L = ‹A,B›, BAA2 ... An, FB.
Логическая экспликация понятия подмножества А мн-ва М с агрегатной и атрибутивной точек зрения следующая:
(AM) (х((xA) (xM))) (1)
(AM) (x((xA) (xM))) (2)
здесь метасимволы и следует считать соответственно как "эквивалентность" и "если…то".
Примеры.
1. Множество всех четных целых чисел. М = {для некоторого }
2. Множество натуральных чисел. .
Если Ма Мb, но Ма и Ма Мb, то Ма является собственным подмножеством в Мb. Таким образом, если множество М' - подмножество множества М, а множество М не является подмножеством множества М', то множество М'называется собственным подмножеством множества М.
Для обозначения этого факта будем использовать двойной знак включения подмножеств , т.е. писать .
ТЕОРЕМА Множество, имеющее бесконечное подмножество, бесконечно:
.