Применение предикатов в алгебре

Рассмотрим предикаты, в которых свободной является лишь одна переменная, которую обозначим через х, и обсудим применение предикатов в алгебре.

Типичным примером является уравнение, например, х²-Зх+2=0. Свободная переменная может принимать здесь любое числовое значение. Для некоторых чисел х (а именно х = 1, х = 2) утверждение, содержащееся в этом уравнении, истинно, в остальных оно ложно. В подобных случаях, когда истинность или ложность предиката зависит только от значения, принимаемого свободной переменной х, множество допустимых значений х можно рассматривать как множество логических возможностей U, а множество всех значений этой переменной, при которых высказывание истинно — как его множество истинности.

В приведенном выше примере множество U состоит из всех действительных чисел, а множеством истинности является множество {1,2}.

В результате введения понятия множества истинности для предикатов мы сможем сказать, что решить уравнение — значит найти один элемент или все элементы его множества истинности. При решении системы двух уравнений у нас имеется предикат, представляющий конъюнкцию двух уравнений. Поэтому мы ищем пересечение двух множеств истинности. Если это пересечение пусто, то система уравнений не имеет решений. Такие уравнения называются несовместными, поскольку их множества истинности не имеют общих элементов х.

Понятие множества истинности удобно не только в вопросах, связанных с решением уравнений, но и при рассмотрении неравенств.

Если U — множество действительных чисел, то множество истинности неравенства х < 0 состоит из всех отрицательных действительных чисел. Множество же истинности неравенства х > -3 состоит из всех действительных чисел, больших, чем -3. Если мы потребуем, чтобы эти неравенства выполнялись одновременно, то множеством истинности будет множество, являющееся пересечением двух исходных множеств, т.е. все действительные числа между -3 и 0.

Понятие множества истинности предиката позволяет выяснить, чем разнятся между собой уравнения и тождества. Когда мы решаем уравнение, мы тем самым ищем один из элементов множества истинности этого уравнения или все его элементы. Если же мы доказываем тождество, то тем самым утверждаем, что оно справедливо для всех х. Таким образом, тождество представляет собой уравнение, множеством истинности которого является универсальное множество U, т. е. является логически истинным или тождественно истинным.

Предикаты P и Q, определенные на X, называются равносильными, если P(х₁, х₂, ..., х_п) ≡ Q(х₁, х₂, ..., х_п) для любого набора (х₁, х₂, ..., х_п ) предикатных переменных на X

 

Пусть P - предикат, определенный на X. Отрицанием предиката P называется предикат, обозначаемый определенный P (неP) на X следующим образом:

P(х₁, х₂, ..., х_п) = P(х₁, х₂, ..., х_п)

Пример. P(х₁, х₂) = P(х₁, х₂) = "Натуральное число х₁ делится (без остатка) на натуральное число х₂". P(4, 2) = 0, P(5, 3) = 1,

 

Пусть P и Q предикаты, определенные на X.

Дизъюнкцией (конъюнкцией, импликацией, эквиваленцией) предикатов P и Q называется предикат, определенный на X обозначаемый PQ, PQ, PQ, PQ, и определяемый следующим образом:

PQ(х₁, х₂, ..., х_п) ≡ P(х₁, х₂, ..., х_п)Q(х₁, х₂, ..., х_п)

PQ(х₁, х₂, ..., х_п) ≡ P(х₁, х₂, ..., х_п)Q(х₁, х₂, ..., х_п)

PQ(х₁, х₂, ..., х_п) ≡ P(х₁, х₂, ..., х_п)Q(х₁, х₂, ..., х_п)

PQ(х₁, х₂, ..., х_п) ≡ P(х₁, х₂, ..., х_п) Q(х₁, х₂, ..., х_п)