При расчете моментов инерции тела относительно осей, не проходящих через центр масс, используют теорему Штейнера. Если ось вращения тонкостенной трубки перенести из центра масс на образующую (рис.), то момент инерции относительно новой оси увеличится в....
Варианты ответов: 1)4 раза; 2)2 раза;
3)3 раза;4)1.5 раза.
Решение.
По теореме Штейнера момент инерции тела относительно произвольной оси I равен моменту инерции этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс I0, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния d между осями: I = I0 + m·d2. Момент инерции тонкостенной трубки относительно оси симметрии вычисляется так же, как момент инерции обруча: I0 = mR2, расстояние между осями, как следует из рисунка, равно d = R. Тогда по теореме Штейнера:
I = mR2 + mR2 = 2mR2 = 2I0. Отсюда следует, что момент инерции увеличится в 2 раза: I/I0=2.
Ответ: вариант 2.
Тест 1 –20
Из жести вырезали три одинаковые детали в виде эллипса. Две детали разрезали пополам вдоль оси симметрии. Затем все части отодвинули друг от друга на одинаковое расстояние и расставили симметрично относительно оси OO'.
Для моментов инерции относительно оси OO' справедливо соотношение …
Варианты ответов:
1)I 1 = I 2 > I 3; 2)I 1 < I 2 = I 3; 3)I 1 = I 2 <I 3; 4)не хватает данных.
Решение.
Моментом инерции твёрдого тела называется сумма призведений масс материальных точек на квадраты их расстояний до оси вращения. Исходя из этого определения, сравним моменты инерции неразрезанной и разрезанных деталей.
Если тело разрезать поперек оси вращения и отодвинуть части друг относительно друга на некоторое расстояние, то при таком расположении частей тела расстояния материальных до оси вращения не изменяются. Поэтому момент инерции тела останется прежним, т. е. I1 = I2.
Если расположить разделенные части тела симметрично относительно оси ОО′ на такое же расстояние, как при поперечном разрезе, показанном на рисунке, то расстояния материальных точек относительно оси вращения для третьей детали уменьшится по сравнению со второй. Поэтому момент инерции I 3< I 2 . Следовательно, справедливо соотношение I 1 = I 2 > I 3 .
Ответ:вариант 1.
Тест 1 –21
Вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω1 свободно вращается система из невесомого стержня и массивной шайбы, которая удерживается нитью на расстоянииR 1 от оси вращения. Отпустив нить, шайбу перевели в положение 2, и она стала двигаться по окружности радиусом R2= 2R1 с угловой скоростью ...
Варианты ответов:
1)ω2 = ω1/2;2)ω2 = ω1/4;3)ω2 = 4ω1;4)ω2 = 2ω1.
Решение.
Задача решается по закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется. Данную систему можно рассматривать как замкнутую, так как момент силы, перемещающей шайбу вдоль стержня, относительно оси вращения равен нулю. Поэтому момент импульса шайбы до перемещения равен моменту импульса шайбы после перемещения: L1 = L2. Момент импульса твердого тела равен произведению момента инерции тела на угловую скорость: L = I ω, поэтому по закону сохранения момента импульса получим: I1 ω1= I2 ω2 . Шайбу можно рассматривать как материальную точку, момент инерции которой равен произведению массы на квадрат её расстояния до оси вращения: I = m∙R2. Тогда получим:
mR12ω1 = mR22ω2. Отсюда: ω2=R12ω1/R22= ω1·(R1/ R2)2 . Так как по условию задачи R2 = 2R1 , то ω2 = ω1 /4.
Ответ: вариант 2.