Умножение на число, сложение, умножение матриц

Определение 1.Матрицей размера m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

,	aij - элемент матрицы A, где: i -номер строки, j - номер столбца.

Определение 2.Две матрицы одного размера m´n называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. А=В Û a_ij=b_ij для любых i=1,2,...,m; j=1,2,...,n.

Определение 3.Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой A=(a₁₁, a₁₂, ..., a_1n) или A=(a₁, a₂, ..., a_n).

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом:

или .

Определение 4.Матрица называется квадратной матрицей n-го порядка, если число ее строк равно числу ее столбцов и равно n .

Определение 5.Элементы a_ij матрицы A, у которых номер строки i равен номеру столбца j, называются диагональными. Они образуют главную диагональ матрицы.

Квадратная матрица называется диагональной, если все недиагональные элементы равны нулю.

Определение 6.Единичной матрицей n-го порядка называется диагональная матрица n-го порядка, у которой все диагональные элементы равны 1.

Определение 7.Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны 0.

Определение 8.Матрица , которая получается из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице А.

Из определения следует, что если матрица A имеет размер m´n, то транспонированная матрица A' имеет размер n´m .

Определение 9.Произведением матрицы A на число l называется матрица B=lA, элементы которой b_ij=la_ij для любых i=1,2,...,m; j=1,2,...,n .

Определение 10.Суммой двух матриц A и B одного размера называется матрица C=A+B, элементы которой с_ij=a_ij+b_ij для любых i=1,2,...,m; j=1,2,...,n .

Определение 11.Если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B и равно k, то произведением матриц A и B называется матрица C=A×B, каждый элемент которой с_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B, т.е. с_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+...+a_ikb_kj для любых i=1,2,...,m; j=1,2,...,n

Многие свойства операций над числами справедливы и для операций над матрицами (это проверяется по определению операций):

1) A+B=B+A;

2) (A+B)+C=A+(B+C);

3) l(A+B)=lA+lB;

4) A(BC)=(AB)C;

5) l(AB)=(lA)B=A(lB);

6) (A+B)C=AC+BC;

7) A(B+C)=AB+AC.

Однако для операций над матрицами справедливы не все свойства операций над числами. Например, AB¹BA для матриц и .