Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Определение 1.Уравнение с двумя переменными Ax + By + C = 0, где A и B не равны 0 одновременно, называется общим уравнением прямой на плоскости.

Теорема 1.Любая прямая на плоскости может быть задана общим уравнением.

Если В¹0, то , т.е. y=кх+b . При этом:

а) если А=0, то y=b;

б) если А=0 и С=0, то y=0;

в) если С=0, то y=кх .

Если В=0 и А¹0, то , т.е. х=а - если С¹0 и х=0 - если С=0.

Теорема доказана.

Точка пересечения двух прямых A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0 есть решение системы линейных уравнений

Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y=к₁х+b₁ и y=к₂х+b₂, т.е. k₁=tga₁ и k₂=tga₂ , где a₁ и a₂ - углы наклона прямых к оси Ох.

Рассмотрим угол j=a₂-a₁ - угол между данными прямыми. Тогда, по формуле тангенса разности, , т.е. .

Если прямые параллельны, то j = 0 , tgj = 0.

Итак, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов, т.е. k₁= k₂ .

Если прямые перпендикулярны, то j = p/2 , ctgj = 0.

Итак, условием перпендикулярности двух прямых является равенство k₁× k₂ =-1.

Замечание.Можно показать, что если две прямые заданы общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0, то:

условие параллельности прямых: ;

условие перпендикулярности прямых: A₁A₂ + B₁B₂ = 0.