Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл параметров окружности и эллипса

Определение 1. Кривой второго порядка называется множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка с двумя переменными

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0,

где A, B, C, D, E, F – действительные числа, причем A, B и C одновременно не равны нулю.

Определение 2. Уравнение Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 называется общим уравнением кривой второго порядка.

В зависимости от коэффициентов A, B, C, D, E, F можно задать четыре типа невырожденных кривых: окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

Рассмотрим уравнение, в котором B=0, коэффициенты A и C одновременно не равны нулю (A² + C² ¹ 0):

Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0.

Для задания невырожденной кривой второго порядка (оси которой параллельны координатным осям) необходимо выполнение условий:

1) если A = C, то уравнение определяет окружность;

2) если A×C>0, то уравнение определяет эллипс;

3) если A×C<0, то уравнение определяет гиперболу;

4) если A×C=0, то уравнение определяет параболу.

Определение 3. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Определение 4. Нормальным уравнением окружности радиуса R с центром в точке называется уравнение (x-x₀)² + (y-y₀)² = R².

В частности, уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид x² + y² = R² и называется каноническим уравнением окружности.

Определение 5. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек F₁ и F₂, есть величина постоянная, равная 2a, т.е. для любой точки M эллипса выполняется соотношение:

½F₁M½ + ½F₂M½ = 2a.

Точки F₁(c,0) и F₂(-c,0) называются фокусами эллипса.

Определение 6. Каноническим уравнением эллипса (в канонической системе координат) называется уравнение .

В этом случае оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат является его центром симметрии.

Вершинами эллипса являются точки A₁(a,0), A₂(-a,0), B₁(0,b) и B₂(0,-b).

Если параметры a и b удовлетворяют условию a > b, то они называются соответственно большой и малой полуосью эллипса.

Расстояние от начала координат до фокусов равно c и определяется соотношением .

Если параметры a и b удовлетворяют условию a < b, то фокусы эллипса расположены на оси Oy в точках F₁(0, c) и F₂(0, -c), а .

Если центр эллипса смещен относительно начала координат в точку O(x₀,y₀), то уравнение эллипса будет иметь вид и называться нормальным уравнением эллипса.

Приведение общего уравнения эллипса к нормальному виду проводится методом выделения полных квадратов по переменным x и y.