Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Определение 1.Уравнение с тремя переменными Ax + By + Cz + D = 0, где A, B и C не равны 0 одновременно, называется общим уравнением плоскости.

Основные виды уравнений плоскости в трехмерном пространстве:

1) z = 0 - уравнение плоскости Oxy;

2) y = 0 - уравнение плоскости Oxz;

3) x = 0 - уравнение плоскости Oyz;

4) Cz + D = 0 - уравнение плоскости, параллельной плоскости Oxy;

5) By + D = 0 - уравнение плоскости, параллельной плоскости Oxz;

6) Ax + D = 0 - уравнение плоскости, параллельной плоскости Oyz;

7) Ax + By + D = 0 - уравнение плоскости, параллельной оси координат Ox;

8) Ax + Cz + D = 0 - уравнение плоскости, параллельной оси координат Oy;

9) Ax + By + D = 0 - уравнение плоскости, параллельной оси координат Oz;

10) Ax + By + Cz = 0 - уравнение плоскости, проходящей через начало координат.

Теорема 1.Любая плоскость в трехмерном пространстве может быть задана общим уравнением.

Определение 2. Вектор (A, B, C) называется общим нормальным вектором плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Если две плоскости заданы общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, то:

- плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарны: ;

- плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю: A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0 - уравнение прямой, проходящей через точку (x₀, y₀, z₀), перпендикулярно нормальному вектору.