Теорема о ранге матрицы

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.

Пусть дана матрица . Для ее строк введем обозначения: e₁=(a₁₁, a₁₂, ... , a_1n), e₂=(a₂₁, a₂₂, ... , a_2n), ..., e_m=(a_m1, a_m2, ... , a_mn) .

Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы.

Операции умножения строки на число и сложения строк вводятся как операции проводимые поэлементно.

Определение 1.Строка е называется линейной комбинацией строк e₁, e₂, ... , e_s, матрицы, если е=l₁e₁+l₂ e₂+ ... +l_s e_s, где l₁, l₂, ... , l_s - произвольные числа.

Определение 2.Строки матрицы e₁, e₂, ... , e_s называются линейно зависимыми, если существуют такие числа l₁, l₂, ... , l_s не равные нулю одновременно, что линейная комбинация l₁e₁+l₂ e₂+ ... +l_s e_s равна нулевой строке.

Линейная зависимость всех строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных строк.

Определение 3.Строки матрицы e₁, e₂, ... , e_s называются линейно независимыми, если их линейная комбинация l₁e₁+l₂ e₂+ ... +l_s e_s равна нулевой строке тогда и только тогда, когда все коэффициенты l₁, l₂, ... , l_s равны нулю.

Теорема о ранге матрицы.Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Тема 2: Системы линейных уравнений

6. Система n линейных уравнений с n переменными (общий вид) и матричная форма её записи. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений

Определение 1.Системой n линейных уравнений с n переменными называется система вида:

,

где a_ij (i=1,2,...,n; j=1,2,...,n) - коэффициенты при переменных;

b_i (i=1,2,...,n) - свободные члены.

Запишем систему линейных уравнений в матричной форме.

Обозначим ; ; .

Имеем - матрица-столбец. Следовательно, по определению равенства матриц, систему уравнений можно записать в виде AX=B , где A - матрица коэффициентов при переменных, Х - матрица столбец переменных, B - матрица-столбец свободных членов.

Определение 2.Решением системы уравнений называется такой упорядоченный набор (k₁, k₂, ... , k_n) чисел, при подстановке которых вместо переменных x₁, x₂, ... , x_n каждое уравнение системы обращается в верное числовое равенство.

Определение 3.Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Определение 4.Система уравнений называется несовместной, если она не имеет решений.

Определение 5.Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение.

Определение 6.Совместная система уравнений называется неопределенной, если она имеет более одного решения.

Определение 7.Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

7. Решение системы n линейных уравнений с n переменными