К а с а т е л ь н ы х

 

Метод касательных , называемый также методом Ньютона, широко используется при построении итерационных алгоритмов. Его попу-лярность объясняется быстрой сходимостью при хорошем начальном приближении . Метод Ньютона основан на замене небольшой дуги кривой у=f(х) касательной , проведенной в некоторой точке этой кривой (Рис. 2) .

Зададимся некоторой точкой х_о ,у_о , лежащей на кривой у=f(х) , и найдем уравнение касательной к этой кривой в выбранной точке. Касательная имеет наклон к оси абсцисс , обусловленный видом кривой f(х), т.е. при проведении касательной , кроме координат точки , должен быть выдержан и угол наклона кривой в выбранной точке. Таким образом, уравнение касательной - это уравнение прямой , проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом . Общий вид такого уравнения известен из курса аналитической геометрии :

 

у – у_о = к ( х – х_о) , ( 1 )

 

где к- угловой коэффициент, т.е. тангенс угла между прямой и осью х.

Найдем точку пересечения этой прямой с осью абсцисс . Для точки , лежащей на оси х , у = 0 . Подставляя это значение у в ( 1 ) , получаем

 

- у_о = кх - кх_о ; кх_о - у_о = кх ; х = х_о - у_о / к . ( 2 )

 

Поскольку точка ( х_о , у_о ) лежит на кривой у = f (х) , то у_о = f (х_о) , а

к = tga = dy / dx = f ‘(x _o) . Подставляя найденные значения у_о и к в формулу ( 2 ) , получаем :

х = х_о - f’(х_о) / f (х_о) ( 3 )

 

Рис. 2

Для выбора начального приближения в методе Ньютона необходимо проверить выполнения условия:

f (с) / (с) > 0, с = b или с = а. (4)

касательная к точке C проводится со стороны выпуклости функции. За начальное приближение итерационного процесса выбирается тот из конца отрезка (а, b) в котором выполняется условие (4).

Найденное значение х считаем значением корня уравнения у = f (х) в первом приближении , т.е. х₁ = х₀ – f(х_о) / f’ (х_о ). Для получения корня во втором приближении надо найти значение функции f ( х₁) , провести каса-

тельную к кривой f (х) в точке В₁ ( х₁ , у₁ ) и найти точку пересечения новой касательной с осью х . Абсцисса этой точки найдется по формуле

х₂ = х₁ - f(х₁) /f’ (х₁)

Обобщая эту формулу , можно для любого приближения записать

х_n+1 = x_n – f(x_n) / f‘(x_n) . ( 4 )

Процесс вычислений по формуле (4) прекращается , если два после-довательных значения х близки, т.е. если ½х_n+1 – х_n½£ e , где e - малое число, определяющее требуемую точность решения уравнения . Процесс вычислений может быть прекращен и в том случае , если ½f(х_n+1)½£ e₁ .

Скорость сходимости процесса последовательных приближений по методу Ньютона в большой мере зависит от удачного выбора исходной точки . Если численное значение производной f' (х) вблизи кор-ня мало, то процесс вычисления корня может оказаться длительным . Если же в окрестности корня график функции имеет большую крутизну, то процесс быстро сходится. Следовательно, если определен отрезок , внутри которого находится корень уравнения, то в качестве начального приближения корня следует принять тот конец отрезка , на котором модуль первой производной½f' (х)½ имеет большее значение .

Из всего сказанного следует , что для решения уравнений методом Ньютона необходимо иметь : уравнение функции f(х) , уравнение производной f' (х) , начальное приближение корня уравнения х_о , значение малой величины e , определяющей момент выхода из итерационного процесса , счетчик итераций , позволяющий автоматически прервать расчет , если количество итераций превысит заданное значение . Алгоритм решения уравнения может быть представлен в следующем виде :

 

1) выбрать начальное значение корня х_n ;

2) по формуле ( 4 ) вычислить х_n+1 ;

3) если ½х_n+1 - x_n½£ e , то перейти к п. 7;

4) вычислить f (x_n+1 ) ;

5) если ½f (x_n+1 )½£ e , то перейти к п. 7 ;

6) положить х_n = x_n+1 и перейти к п. 2 ;

7) закончить расчет .

 

Этот алгоритм реализован в виде подпрограммы SUBROUTINE NEWTO ( A, B, EPS, X, K ).Текст подпрограммы приведен в приложении 4 .