Понятие финальных вероятностей и систем с доходами.

 

В теории случайных процессов доказывается теорема о существовании в установившемся режиме финальных вероятностей Р^*_i ,

 

Если число состояний системы конечно и из каждого состояния в любое другое можно перейти за конечный интервал времени

В этом случае система уравнений (*) может быть решена как система обычных алгебраических уравнений без правой части с добавлением нормирующего условия

 

Система (*) будет иметь вид:

0 = (λ₁+λ₂)Р^*₁ + µ₁Р^*₂ + µ₂Р^*₃

0 = - (λ₂ + µ₁)Р^*₂ + µ₂Р^*₄ + λ₁Р^*₁

0 = - ( λ₁+µ₂)Р^*₃ + µ₁Р^*₄ + λ₂Р^*₄

0 = λ₁Р^*₂ + λ₂Р^*₃ – (µ₁ + µ₂)Р^*₄

n

Σ P^*_i = 1

i=1

 

Финальные вероятности представляют собой среднее время нахождения системы в i-ом состоянии.

 

Если доход системы, находящейся в i-м состоянии равен С_ij, тогда доход системы можно определить как

n

С_Σ = Σ Р^*_i C_i

i=1

 

Аналогично затраты на ремонт системы могут быть подсчитаны:

m

R_s = Σ P^*_jr_j

j=1

где r_j – это затраты на ремонт системы, находящейся в j-ом состоянии.

 

Для расчета системы с параллельно включенными элементами используется формула:

 

n

Λ_s = Σ λ_i ΠΚп_j – интенсивность отказы системы

j=1

j≠i

 

Λ_s @ λ₁Кп₂Кп₃+λ₂Кп₁Кп₃+λ₃Кп₁Кп₂

 

T_s = 1/ Λ_s

 

Марковские модели надежности с дискретными параметрами

Понятия о моделях «гибели - размножения»

Если с точки зрения задачи исследования, в системе из m параллельно включенных однородных элементов нас интересуют состояния системы, отличающиеся только числом отказавших элементов, а не какие именно элементы отказали, то может быть применена модель «гибели-размножения».

Вероятность 1-го и 20го состояния системы можно определить по формуле полной вероятности.

По формулам полной вероятности имеем:

Вектор состояния π_i(n) не меняется

При определении любого состояния системы на (n-1) этапе вектор состояния на предварительном этапе не изменяется.

/ системы уравнений (*) вероятности P₁₁(n) и P₂₁(n) есть 1-й столбец матрицы переходимых вероятностей, а вероятности P₁₂(n) и P₂₂(n) есть вероятности 2-го столбца матрицы переходимых вероятностей.

Следовательно, в векторной форме составление системы на (n-1) числе будет равно:

 

Для системы с m состояниями можно записать следующее формулы определения вероятностей системы.