Скорость точки

 

 

Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчёта.

 

Скорость точки всегда направлена по касательной к траектории её движения.

Пусть заданы уравнения движения точки в пространстве: X = f₁(t); Y = f₂(t); Z = f₃(t) (рис. 2.6).

Разложим вектор V скорости точки на составляющие по координатным осям: V = V_OX + V_OY + V_OZ. Векторы V_OX, V_OY, V_OZ называют компонентами скорости по координатным осям. Вектор Vскорости можно выразить векторным равенством:

V = i·+ j·+ k·,

где , , – проекции скорости V на соответствующие координатные оси.

В инженерных расчётах рекомендуется использовать следующие обозначения проекций скорости V на координатные оси: ; ; .

Сравнивая последние формулы, запишем равенство

V = V_OX + V_OY + V_OZ = i·+ j·+ k·.

Из этого равенства имеем:

V_OX = i·; V_OY = j·; V_OZ = k·.

Проекции скорости на координатные оси системы отсчёта равны первым производным по времени от соответствующих уравнений движения:

= dX/dt; = dY/dt; = dZ/dt,

где точка (·) означает символ однократного дифференцирования функции по времени.

Зная проекции скорости на координатные оси, находят модуль скорости по формуле

.

Ориентацию вектора скорости V в системе отсчёта OXYZ определяют по направляющим косинусам:

cos(V, i) = / V; cos(V, j) = / V; cos(V, k) = / V.

Движение точки в плоскости OXY (рис. 2.7) задаётся двумя уравнениями движения: X = f₁(t); Y = f₂(t).

Модуль и направление скорости точки в этом случае определяются по формулам:

;

cos(V, i) = / V; cos(V, j) = / V.

Прямолинейное движение точки (рис. 2.8) задаётся одним уравнением X = f(t).

В этом случае модуль скорости точки равен абсолютной величине проекции скорости на координатную ось ОХ.

V = || = |dX/dt|.

При > 0 точка движется в сторону увеличения координаты Х, при < 0 – противоположно направлению оси.