Ускорение точки

 

 

Ускорение а точки всегда направлено в сторону вогнутости траектории движения, лежит в соприкасающейся плоскости (см. рис. 2.14) и находится по формуле

a = а_oτ + а_on ,

где а_oτ – касательное ускорение; а_on – нормальное ускорение.

 

Ускорение точки равно геометрической сумме двух векторов, один из которых направлен по главной нормали и называется нормальным ускорением, а другой направлен по касательной и называется касательным ускорением.

 

Касательное а_oτ и нормальное а_on ускорения называют также компонентами ускорения по естественным координатным осям.

Касательное ускорение а_oτ характеризует быстроту изменения величины скорости V и находится по формуле

а_oτ = τ·(d₂S/dt²) = τ·(= τ·,

где = d₂S/dt² = – проекция ускорения a точки на касательную.

Таким образом, проекция ускорения точки на касательную равна второй производной по времени от дуговой координаты S = f(t) или первой производной по времени от проекции скорости на касательную.

Символ (··) означает двойное дифференцирование функции S = f(t) по времени.

Из приведённых обозначений проекций ускорения на касательную, как правило, используют обозначение .

Эта проекция () имеет знак (+), если направления касательного ускорения а_oτ и орта τсовпадают, и знак (–), если они противоположны по направлениям.

Касательное ускорение а_oτ характеризует быстроту изменения величины скорости.

Нормальное ускорение а_on характеризует быстроту изменения направления скорости и находится по формуле

а_on = n·(/ρ).

Так как /ρ > 0, то нормальное ускорение всегда совпадает с направлением орта n, т. е. всегда направлено к центру кривизны траектории движения точки.

При прямолинейном движении точки радиус кривизны траектории движения ρ = и, следовательно, а_on = /ρ = /= 0.

Таким образом, нормальное ускорение существует только при криволинейном движении.

В случае естественного способа задания движения, когда известна траектория точки, а, следовательно, её радиус кривизны ρ в любой точке и уравнение движения S = f(t), можно найти проекции ускорения точки на естественные координатные оси и по ним определить модуль и направление ускорения по формулам:

a = ;

cos(а, i) = / a; cos(а, n) = (/ρ)/ a.

Модули скорости и ускорения точки при естественном и координатном способах задания движения точки связаны следующими зависимостями:

V = || = ;

a = = ;

а_oτ = ||.