3.1 Определение максимального и минимального значения исследуемой функции
Для поиска экстремальных xi необходимо использовать таблицу в приложении В.
Алгоритм определения ymax рассмотрим на следующем примере. Допустим, что в результате расчетов было получено квадратичное уравнение вида
(3.1)
Распишем данное уравнение на систему квазиоднофакторных моделей
(3.2)
(3.3)
. (3.4)
Из системы квазиоднофакторных моделей (3.2, 3.3, 3.4) выбираются все модели, для которых bii ³ 0.
В нашем случае это модели (3.2) и (3.3). Для этих моделей экстремальное значение может достигаться только на границах эксперимента, т.е. xi = ±1, однозначное значение xi может быть получено, если выполняется условие
. (3.5)
При этом знак xi определяет знак bi.
Проверим условие (3.5) для модели (3.2)
,
условие не выполняется, следовательно возможны два конкурирующих решения x1 = +1 и x1 = -1.
Принимаем x1 = +1, подставляем его в основное уравнение (3.1), приводим подобные и заново расписываем в виде системы моделей
(3.6)
. (3.7)
Для модели (3.6) b22 = 0, проверяем условие (3.5) , условие выполнилось, следовательно, , т.к. коэффициент (+5.878) при x2 положительный.
Приведем подобные
Для моделей, где bii < 0 положение находится внутри области эксперимента , если выполняется условие
(3.8)
В нашем случае для модели (3.7) bii < 0,
.
Так как условие (3.8) выполнилось, определим по зависимости (3.9)
(3.9)
.
В результате отработки одной ветви дерева поиска ymax получили один из альтернативных max.
при .
Рассмотрим вторую ветвь дерева поиска:
принимаем
приведем подобные
(3.10)
(3.11)
Для модели (3.10) , проверяем условие (3.5) , условие выполнилось, следовательно, , т.к. коэффициент (-2,898) при отрицательный.
Приводим подобные:
аналогично расчету приводимому в первой ветви
при .
Из двух альтернативных решений выбираем глобальный максимум исследуемой функции:
.
Для определения минимального значения смотри колонку minY в приложении 3
3.2 Построение двумерных сечений поверхности отклика
Двумерные сечения поверхности отклика строятся для двух факторов , при этом остальные факторы необходимо зафиксировать на постоянном уровне. Значение этого уровня зависит от постановки задачи, условий анализа изучаемой функции и т.д. При принятых постоянных значениях остальных факторов, не участвующих в построении графика, их значения подставляются в полученное уравнение регрессии, уравнение сокращается на порядок (n-1) и получается зависимость от двух анализируемых факторов xi и xj.
Для построения графика функции необходимо иметь следующие параметры: для преобразованных функций, шаг изменения функции, а также просчитанные значения функции в четырех краевых точках графика . Значения функции в краевых точках позволяют определиться с диапазоном изменения функции для данного уравнения .
Шаг изменения функции при построении определяется из выражения
,
где n – количество сечений.
Двухфакторная модель второго порядка в зависимости от значений коэффициентов bi, bii и bij может представлять собой одну из поверхностей второго порядка, представленных на рисунке 1.
а - плоскость (b11 = b22 = b12 = 0);
б - параболический цилиндр (b11 = b12 = 0);
в - эллиптический параболоид (b11 > 0, b22 > 0);
г - гиперболический параболоид (b11 < 0, b22 < 0).
Рисунок 1 - Примеры двумерных сечений поверхности отклика
На рисунке 2 приведен пример построения двумерного сечения поверхности отклика для
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 2-Пример двумерного сечения поверхности отклика
Анализ двумерных сечений поверхностей отклика позволяет как качественно, так и количественно оценить поведение функции в пределах выбранного сечения факторного пространства. Для информативности помимо шкалы кодированных значений факторов, на рисунке 2 приведены диапазоны изменения факторов в натуральных единицах измерения. Это позволяет без перекодировки полученного уравнения регрессии, оперативно, без потери общности, проанализировать изучаемый процесс.