BOYUTLU UZAY-ZAMANDA EİNSTEİN KЬTLEЗEKİM ALANI DENKLEMLERİNİN ЗЦZЬMЬ

 

Şimdi, tekrar Einstein Alan denklemlerine dцnelim ve bu diferansiyel denklemlerin зцzьmlerinin ne anlam ifade ettiklerini dьşьnelim. Bildiğimiz gibi 5-Boyutlu fiziksel metrik uzaklık ifadesi olan;

ifadesindeki v(r), ψ(r) ve a(r) potansiyel fonksiyonları ve birinci tьrevlerinden oluşan;

зцzьmlerini veren EİNSTEİN ALAN DENKLEMLERİ:

denklemlerinden oluşmaktadır. Burada Q=nr₀olarak “Manyetik Yьkь” ve ω ”Tekillik Yьzeyinin Aзısal Hızını” gцstermektedir. Eğer bu denklemleri 5-Boyutlu uzay-zamanın sınır yьzeyinde зцzersek (belirli Elektromanyetik sınır koşulları altında) 5-Boyutlu uzay-zamanı, Holografi ilkesine gцre 4-Boyutlu bizim iзinde bulunduğumuz uzay-zamana (evrene) indirgemiş ve kodlamış oluruz. Sınır koşul ise, ancak Planck цlзeğindeki bir karadelik tekilliğinde ortaya зıkan manyetik yьk kavramına bağlı olduğu iзin temel olarak tьm alan bileşenleri “Q” зцzьmьnь elde etmemize bağlı olacaktır. Bu denklemlerin basit bir kısmо зцzьmь:

olmak ьzere; Alan bileşenlerini bulmak iзin (Kaluza-Klein Elektrik Alanı (E_KK) ve Kaluza-Klein Manyetik Alanı (B_KK)) 2. Einstein denklemini, bu kısmо зцzьmler cinsinden 4π ile зarparak yeniden dьzenlersek:

 

diferansiyel denklemi elde edilir. Şimdi bu denklem bize neyi hatırlatmaktadır. Bildiğimiz gibi 4-Boyutlu Gauss yasasının diferansiyel formu şeklindedir. Burada E_4D, 4-Boyutlu elektrik alan ifadesi ve olarak S kьresel yьzeyinin alanını gцstermektedir. Şimdi bu durumu yukarıdaki diferansiyel denkleme uygularsak, burada olarak 5-Boyutlu Kaluza-Klein elektrik alanı (E_KK), olarak katı aзılarla belirlenmiş olan yьzeye dik doğrultuda geзen akı yьzeyini gцstermek ьzere;

 

denklemi elde edilir.Benzer şekilde Kaluza-Klein manyetik alanını (B_KK) bulmak iзin metrik uzaklık ifadesindeki, φ bileşeninin (A_φ=-r₀ncosθ) rotasyonelini alırsak:

 

 

denklemi elde edilir. Bu alan зцzьmleri 5-Boyutlu Relativitenin, “Akı Tьpь” yani kapalı ve aзık zar tipindeki sabit alan denklemleridir. Bu denklemler, a(r)=r² değil de a(r)=sabit şeklinde bir зцzьm verdiği iзin akı tьpь benzeri bir geometrik yapı gцsteren tekillik noktaları iзermektedir. İşte bu tekillik noktaları, biraz sonra gцreceğimiz gibi kьtleзekim alanını meydana getiren, Manyetik Yьk iзeren KARADELİK TEKİLLİKLERİ’dir. Elektrik alan ve Manyetik alan bileşenlerinden oluşan bu kьtleзekimi alanı, bu tekillik noktasından başlayarak akı tьpь boyunca (r’ye bağlı olarak) tьm uzay-zamanı kaplamaktadır. 5-Boyutlu bu kьtleзekimi alanını oluşturan manyetik ve elektrik yьkler (Kaluza-Klein alanlarının kaynağı) bu akı tьpьnьn noktalarında yer almaktadır. Bu, aynen 5-Boyutlu “Elektrik ve Manyetik Dipol” durumuna benzetilebilir.

Şimdi (1) ve (5) no’lu Einstein denklemlerini sınır koşulları altında зцzersek Kaluza-Klein “Elektrik ve Manyetik” yьkleri arasında şцyle bir bağıntı elde ederiz:

 

 

Bu denklemi de parametrik olarak зцzersek “Elektrik” ve “Manyetik” yьk ifadeleri:

olarak bulunur.

E_KK ve H_KK alan 5-boyutlu Kaluza-Klein alan bileşenlerinin, bulduğumuz bu parametrik yьk ifadelerine bağlı olarak 5 farklı durumu vardır: