Hareketli yьk iзeren bir durumda tekillik yьzeyinde oluşan normal ve teğetsel kuvvetler (Şuhubi, 1995).

Deformasyon iзeren bu sьreksiz tekillik alanında elektrostatik alanın etkileşimi mikro dьzeydeki kьtle ve yьk etkileşimlerinin bir sonucudur. Manyetik yьkьn fiziksel olarak tekilik noktası civarı gцzlemlenemediği iзin, varlığı pratik olarak kanıtlanamasa bile, Elektrik yьkьnьn mevcudiyeti fiziğin temel postьlatlarından biridir ve deneysel gцzlemlerle kanıtlanmaktadır. Elektrik akımının varlığı yьklerin hareketinden kaynaklanmaktadır. Modern fiziğe gцre, malzeme temel partikьllerin bir bileşimidir ve bu partikьllerden bazıları partikьller arası kuvvetlerle birbirine bağlıyken bazıları da serbestзe hareket edebilirler. Bu temel partikьllerden bazıları kьtleye ilaveten yьk denilen başka bir цzelliğe sahiptir. e=1.6 Ч10⁻¹⁹ Coulomb ile ifade edilen elektronik yьk, yьkьn mьmkьn olan en kьзьk kısmını temsil etmektedir. Herhangi bir uzaysal hacimde bulunan toplam yьk elektronik yьkьn tam katmanlarından meydana gelmektedir. Bu зalışmada, sьrekli ortam hipotezi gereğince yьkьn sonsuz bir şekilde bцlьnebileceği, ya da incelediğimiz mikro hacim elemanı ne kadar kьзьk olursa olsun yeterli sayıda yьk iзerdiği kabul edilecektir. Maddenin, pozitif ve negatif olarak nitelendirilen iki farklı yьk iзerdiği dьşьnьlmektedir. Deneysel gцzlemler, izole edilmiş bir sistemde toplam yьkьn korunduğunu ifade eden hipotezi destekler. Sistem iзerisinde pozitif bir yьk miktarı meydana зıkar ve kaybolursa, buna eşit miktarda negatif yьk miktarı aзığa зıkar veya kaybolur. Bцylece yьkьn cebirsel toplamı sabit kalır. Yьk aynı zamanda serbest veya bağlı olarak da karakterize edilebilir. Serbest elektronlarla taşınan yьkler ve bir atomun iз elektron kabuklarında yer alan negatif yьkler serbest ve bağlı yьklere цrnek olarak verilebilir (Bu konuda ayrıca bkz: Eringen, 1963; 1972; Eringen ve Maugin, 1990).

 

Eğer V + S bцlgesinde yьk mutlak olarak sьrekli ise, bir hacimsel yьk yoğunluğu q ve bir yьzeysel yьk yoğunluğu w mevcuttur. Bцylece V + S bцlgesinde yer alan toplam yьk aşağıdaki gibi birimsel olarak ifade edilebilir,

 

 

Yьklere sahip partikьller bir dış elektrik alana girdiği zaman yьkleri ile orantılı bir şekilde belirli kuvvetlerin etkisi altında kalırlar. Ortamdaki serbest elektronlar bu dış kuvvetlerin etkisi ile harekete geзerler. Pozitif ve negatif yьklь bağlı partikьller ise, birbirlerine gцre bağıl bir yer değiştirmeye uğrarlar. Bu şekilde gerinmiş olan malzemenin polarize olduğu kabul edilmektedir. Polarizasyon basit bir şekilde aşağıdaki gibi aзıklanmaktadır. Malzeme başlangıзta, зekirdeği +q0 yьkьne sahip olan ve зekirdek etrafında hareket eden elektronları eşit miktarda –q0 yьkьne sahip olan atomlardan meydana gelmiş bir yapı olarak dьşьnьlmektedir. Bu durumda yьklerin efektif merkezleri зakışıktır. Malzeme bir elektrik alanın etkisinde kaldığı zaman, pozitif yьkler negatif yьklere gцre yer değiştirir. Bir V hacminin S yьzeyi boyunca toplam yьk transferi,

 

 

şeklinde ifade edilir. Burada N birim hacimde polarize olan atomların sayısı d ise pozitif yьklerin negatif yьklere gцre yer değiştirme vektцrьnь gцstermektedir. V deki toplam bağlı yьk orijinal olarak sıfır olduğundan, V de kalan toplam polarizasyon yьkь Q_p aşağıdaki gibi ifade edilebilir,

 

 

olarak Polarizasyon vektцrь olarak bilinir.

 

LEMMA1- Elektrostatik alan konservatif olduğundan kapalı bir C – eğrisi ьzerindeki sirkьlasyonu sıfırdır (Faraday Yasasının цzel hali):

 

LEMMA2- Ortamın hacmi iзindeki ve σ − sьreksizlik yьzeyi ьzerindeki serbest elektrik yьkleri cismin iзindeki ve yьzeydeki elektrik deplasman alanı oluşturur (Gauss-Coulomb Yasası):

 

 

şeklinde tanımlanmakta olup, ε₀ boşluğun elektriksel permitivitesi, D ortamın toplam deplasman akımı, P ise polarizasyon alanıdır. P, birim hacim başına elektrik dipol yoğunluğu olup bьnye denklemi ile tayin edilmesi gereken bir alandır. İleriki bцlьmlerde daha iyi gцreceğimiz gibi, bu alan rijid cisimlerde yalnız elektrik alanına bağlı olarak, şekil değiştirebilen cisimlerde ise aynı zamanda deformasyon alanına, yani bu kez ek bir deplasman akımı manyetik yьkler iзinde tanımlanacak ve bцylece manyetik alana da bağlı olarak ek bir terim daha ortaya зıkacaktır. Bunun цnemli maddenin sonucunda, Maxwell denklemlerini genişlemeye gцtьren bu ek terim, yani Genelleştirilmiş Stokes teoremi kullanılarak yukarıdaki ifadenin sol tarafındaki terim aşağıdaki gibi yazılabilir:

 

 

Genelleştirilmiş Greeen – Gauss Diverjans teoremi kullanılarak 2. postьlattaki denklemin sol tarafındaki terim ise aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:

 

 

Şimdi bu denklem 1. postьlattaki ifadede kullanılarak bilinen usullerle yerelleştirilirse aşağıdaki denklemler yazılabilir:

 

 

Ayrıca ortam ideal dielektrik kabul edilirse, hacimsel elektrik yьk yoğunluğu alınır ve son eşitliklerdeki denklemi tekillik yьzeyinin iз kısmında aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:

 

 

Buradaki φ potansiyel skalerdir ve Elektrostatik potansiyel olarak adlandırılır. φ’nin sonsuzdaki etkisi sıfırdır. Bir dielektrik ortamın lokal durumu kısmen polarizasyonun değeri ile karakterize edilebilir. Polarizasyon elektrik alanın bir fonksiyonudur. Bцylece elastik bir dielektrik ortamın bağımsız durum değişkenlerinden biri olarak elektrik alan vektцrь seзilebilir.

 

 

Lineer Momentum Denkliği:

Bu ilke, herhangi bir maddesel cismin toplam lineer momentumunun zamana gцre değişme hızının, bu cismin ьzerine etkiyen toplam kuvvete eşit olduğunu ifade eder. Sьrekli ortamın bir dm=ρdv elemanter parзacığının hızı v ise elemanter momentum vdm=ρ vdv ve t anındaki toplam momentum,

 

 

olur. Ortamın ьzerine etkiyen toplam kuvvet f ise bu ilkeye gцre,

 

 

 

eşitliği geзerlidir. Newton mekaniğinin temel varsayımları uyarınca F yalnız cisme etkiyen dış kuvvetlerin toplamını gцsterir. Bu kuvvet genellikle iki parзadan oluşur. Bunlardan biri herhangi bir fiziksel dış alanın madde ile etkileşimi nedeniyle ortamın parзacıklarına etkiyen, ortamda yayılı kьtle kuvvetidir. Bu kuvvet cismin birim kьtlesi başına f yoğunluğuyla verilebilir. Dış kuvvetlerin diğer parзası ortamın зevresiyle yьzeyi aracılığı ile etkileşiminden kaynaklanan, değme kuvveti tьrьnden, yьzeyinde yayılı yьzey kuvvetlerinden oluşur. Bu kuvvet, birim dış normali n vektцrь olan bir alan elemanına birim alanı başına etkiyen t(n) vektцrь ile belirlenir. Bu зalışmada sьrekli ortam olarak dьşьnьlen, tekillik noktasında maddesel plazma ortamının Piezoelektrik цzelliği olan ve elastik davranış gцsteren bir malzeme gibi olduğu ve aşırı manyetizasyona sahip olduğu ele alınmıştır. Bцylece bir malzemeye etkiyen dış kuvvetlerin toplamını gцsteren f tanımlamalardan faydalanılarak,

 

 

şeklinde hacim iзerisinde tanımlı olmak ьzere iki parзaya ayrılarak yazılabilir. Bu denklemdeki f ьз parзadan oluşur. Bunlardan ilk terimdeki ikisi; ρ_m ve ρ_e elektromanyetik yьkleri tarafından oluşturulan f^B birim hacim başına etkiyen manyetik gцvdesel (kьtlesel) kuvvet ile ikinci terimdeki f^E birim hacim başına etkiyen elektrostatik gцvdesel kuvvet yoğunluğu olup;

 

 

şeklindedir. Ьзьncьsь ise, t_(n) şeklinde herhangi bir noktada yцnelimi n normal vektцrьyle belirlenmiş bir alan elemanına etkiyen gerilme vektцrь olup, bu durumda lineer momentum denkliği, aşağıdaki gibi bir integro-diferansiyel denklemle kısmi toplam şeklinde ifade edilebilir:

 

 

şeklinde yazılabilir. Bu durumda Lineer yьk-momentum denkliğini alan sabitlerini belirleyen k bileşenini de iзerecek şekilde genişletirsek;

 

olarak ifade edilir. Bu bağıntının sol tarafındaki ifade yьk yoğunluğu şeklinde bir potansiyel fonksiyonu olarak alınarak, ψ birim kьtle başına herhangi bir alan bileşenini (kьtleзekim, elektrik alan veya manyetik alan şeklinde) formundaki bir korunumlu yьk-momentum bağıntısında ψ yerine v_k alınarak aşağıdaki gibi yazılırsa;

 

 

ve denkleminin sağ tarafında yer alan yьzey integrali terimi Green – Gauss teoreminden faydalanılarak aşağıdaki gibi yazılabilir:

 

 

Şimdi, elde ettiğimiz son iki denklem denkleminde yerine yazılıp, eşitliğin sağ tarafındaki ifadeler sol tarafa geзirilirse aşağıdaki denklem elde edilir;

 

 

Bu eşitliğinin sağlanabilmesi iзin integrandların sıfıra eşit olması gerekir. Bu durumda, aşağıdaki ifadeler yazılabilir;

 

 

ve denklemindeki 1. koşulda belirtilen terimi, tekillik iзeren 5. boyutlu sınır-teğet yьzeyin plazma ortamındaki maddesel elektrodinamik yьk hareketinin ortalama ivmesi olarak adlandırılır ve bu durumda maddesel tьrevin tanımından aşağıdaki şekilde ifade edilir:

 

 

İşte bu цnemli sonuз, birazdan gцreceğimiz gibi, 5-boyutlu elektromanyetik kьtleзekim denklemlerinde daha цnceki bцlьmlerde isbat ettiğimiz gibi, цzdeş olarak maddesel ortamdaki ivmeli elektrodinamik yapının birleşik bir alan kuvveti yapısında olduğunu toplamsal olarak iki yьk bileşeninin, yani 2. bir ek olarak manyetik yьk bileşeninin de maddesel plazma ortamında bulunması gerektiğini ortaya koymaktadır ve ilerleyen genişletilmiş dinamik maxwell denklemlerinden de gцreceğimiz gibi, bu plazma yьklerinin Newton mekaniğinden Einstein relativitesine ve nihayetinde oradan da 5-boyutlu Einstein-Maxwell dinamik hareket denklemlerine genişletilmesi durumunda, her iki maddesel yьk birimi de v=c yani ışık hızında titreşen bir birleşik elektromanyetik dalga hareketine dцnьşecektir..

STATİK ALAN DENKLEMLERİ

Maxwell Denklemiyle verilen (1) numaralı Gravitasyon yasasını integral forma dцnьştьrьrsek, Diverjans Teoreminden;

 

olur.

Bu ifadedeki sağ tarafta yer alan Gravitasyonel yьk yoğunluğu ifadesinin ne anlama geldiğini biraz dьşьnьrsek; bu yьk yoğunluğunu oluşturan V hacmi iзindeki bir m_iз (iз kьtle)’den bahsetmeliyiz. Bu durumda, sağ taraftaki ifade;

 

olması gerektiğini Elektromanyetik Teorideki yьk teoreminden, olduğunu biliyoruz.

Şimdi bu ifadeyi aзarsak:

 

olarak bulunur.

 

Buradaki m_iз=V hacmi iзindeki kьtleзekim yьkьnь (Graviton) oluşturan kьtledir. Yani kısacası, her bir gцkcisminin merkezinden belli bir yarıзap uzunluğunda alınmış V hacmi iзerisindeki toplam kьtledir. Şimdi Graviton yasasını yeniden dьzenlersek;

elde edilir.

Denklemdeki K=Yeni Evrensel Kьtleзekim Tansцrь Sabitidir. Eski evrensel зekim sabitini , ifadesine eşitlersek;

 

ise K=6,666Ч10^-4 olarak elde edilir. Yukarıdaki hesaplamadaki ihmal yapılırken, kьtleзekim merkezindeki tekillik noktasında olduğundan dolayı manyetik yьk, elektrik yьkьnden зok bьyьk olduğu iзin elektriksel yьk yoğunluğu ihmal edilirse;

değerini kullanabiliriz.

Benzer şekilde Coulomb ve Ampere Yasaları iзin de K_E ve K_B renormalizasyon sabitlerini de bulursak;

Bunun iзin kuantum mekaniğinden yararlanarak iki Graviton ve iki Elektron dipolь arasındaki Elektrik, Manyetizma ve Kьtleзekim Alan vektцrlerinin toplam ifadesini yazarsak ve e^- yьkь iзin q=1,6Ч10^{-19 C, g yьkь iзin g=66q=10-17} A-m ve e kьtlesi iзin m=9Ч10^{-31 kg olarak bilindiği iзin atom yцrьngesindeki bir e ve g iзin eşdeğer sicim diyagramlarının etkileşimi gцsterilirse;}

 

vektцrel toplamı yazılırsa;

(1)

eşitliği elde edilir.