Parзacığın yцrьngesi ьzerindeki sicim parзası ьzerindeki gecikmeli potansiyel vektцrleri.

Şimdi, herhangi bir yьk dağılımı iзin, skaler potansiyel ifadesini yazarsak;

 

Bu ifadedeki yьk yoğunluğu integralini gecikmeli hız cinsinden yazarsak;

olur.

Burada parзacığın t_r gecikmeli zamanındaki hızı ve c ışık hızıdır. Bu durumda, hareketli noktasal yьkьn skaler potansiyelini yazarsak;

olur.

Buna gцre, vektцr potansiyeli de şцyle yazılabilir;

 

olur.

 

Yukarıdaki formьllere hareketli noktasal yьkьn Lienard-Wiechert Potansiyelleri adı verilir. Şimdi hareketli noktasal yьk iзin Kьtleзekim-Elektromanyetik alan denklemlerini hesaplayacak durumdayız. Lienard-Wiechert Potansiyellerini şцyle yazalım;

Alanları veren ifadeleri de yazarsak;

Цnce V’nin gradyanını alarak başlayalım;

 

olduğundan, olur. Diğer diverjans ise;

 

olur.

Şimdi bu terimleri teker teker hesaplayalım:

 

 

Burada olarak parзacığın gecikmeli zamandaki ivmesidir.

 

olur.

Benzer şekilde;

olur. Son terim olan ifadesinde;

olur.

 

Tьm bunları birleştirirsek;

 

olur. Bu bulduğumuz ifadeyi denkleminde yerine koyarsak;

 

olur.

Hesabı tamamlamak iзin ’yi bilmemiz gerekiyor;

olur.

 

Buradan ’yi зekersek;

 

olur. Bu sonucu da ifadesinde yerine koyarsak;

ve aynı yцntemle;

 

 

olur. Bu iki ifadeyi bir araya getirdiğimizde elektrik alanını buluruz:

 

olarak bir vektцr tanımlarsak;

 

olarak yazılabilir.

Yьk, kьtleзekim alanında esire gцre dьzgьn doğrusal hareket yapacağından (dьşьk hızlar iзin) bu formьlde alınırsa;

 

olarak elde edilir.

 

Bu harekette konum vektцrь olduğundan;

 

olur.

ifadesi; Elektrik Alan iзin, ve Manyetik Alan iзin, olarak yazılabileceğinden (Цzel Gцrelilik teorisine gцre) yer değiştirme vektцrь,, Kьtleзekim Alanı yцnьndeki birim vektцr, ve θ aзısı, Elektrik Alan ile Manyetik Alan arasındaki Polarizasyon Aзısı (, ve arasındaki aзı) olmak ьzere; Elektrik alan ifadesi:

 

 

olarak elde edilir.

Benzer şekilde, Manyetik alan ifadesi:

 

Ve son olarak Kьtleзekim alan ifadesi:

olarak bulunur.

alanı, parзacığın şimdiki konumunu P noktasına birleştiren vektцrь yцnьndedir. Зьnkь sinyal gecikmeli konumdan gцnderilmiştir. Aşağıdaki şekillerden de gцrьleceği gibi hareketli bir yьkьn elektrik alanı, harekete dik yцnde yoğunlaşır. Sonuз olarak, İleri ve geri yцnlerde Alanı, durgun yьkьn alanına kıyasla, зarpanı kadar; Alanı ise, harekete dik yцnde, зarpanı kadar azalmıştır.