BİR PARЗACIĞIN YЦRЬNGESİ VE UZAY-ZAMANDAKİ DURUMU

 

Sırası gelmişken burada biraz da kuantum mekaniğinden bahsetmek istiyorum. Klasik dьzeyde tek bir kuantum parзacığını dьşьnьrsek, parзacık uzaydaki konumu ile tanımlanır ve bir sonraki evredeki davranışını bilmek iзin hızını (veya eşdeğer olarak Momentumunu) bilmeliyiz. Kuantum mekaniksel aзıdan, bir parзacığın bulunabileceği her bir konum, ona sunulan bir seзenek’tir. Bu seзenekler, olasılık dağılım fonksiyonlarıyla ifade edilip daha sonra da зarpılıp toplanabilirler. Kuantum kuramında, konumun bir kompleks değerli fonksiyonu olarak kabul edilen ve parзacığın Dalga Fonksiyonu denilen bu fonksiyon ψ ile gцsterilir ve herhangi bir x konumu iзin, dalga fonksiyonu, ψ(x) değerine sahiptir ve bu parзacığın x konumunda bulunması olasılığının genliğidir.

Kompleks değerli ψ, ьз boyutlu uzayda parзacığın x-ekseni boyunca hareket ettiğini varsayarsak, y-yцnьnьn de reel ekseni oluşturduğunu dьşьnьrsek; z-yцnь sanal eksen olur. Yani x-eksenindeki her konuma karşı (y,z) dьzleminde bir nokta işaretleyebiliriz. x değiştikзe bu nokta da değişir ve izlediği yol x-ekseninin yakın komşuluğu iзinde dolanarak uzayda bir eğriyi tanımlar. Bu eğriye, parзacığın ψ eğrisi denir. Parзacığın belirli bir x noktasında bulunma olasılığı, bu noktaya bir parзacık dedektцrь yerleştirilmiş gibi dьşьnьrsek, ψ(x) genlik değerinin mutlak değerinin karesini alarak bulunabilir:

Bu ifade, ψ-eğrisinin x-ekseninden uzaklığının karesidir. Bu durumu, ьз boyutlu fiziksel uzaydaki bir dalga fonksiyonu ile ifade etmek iзin, ьз boyutu fiziksel uzaya ve iki boyutu ψ(x)’in işaretlendiği her noktadaki konumu belirten dьzleme karşılık gelmek ьzere beş boyut gerekir. Bu durumda ifadesi bir olasılık yoğunluğunu belirtir. Bunun olasılık yoğunluğu ise, bir noktanın komşuluğundaki sabit uzunlukta kьзьk bir aralıkta parзacığın bulunması olasılığıdır. Bцylece ψ(x), bir genlikten зok bir genlik yoğunluğunu tanımlar.

 

Ψ Kompleks Dalga Fonksiyonu ifadesi:

olarak ifade edilebilir. Buradaki “p” parзacığın sцz konusu momentumudur. Bu dalga fonksiyonu ifadesi ise, ψ-eğrisi olarak matematiksel olarak bir helezonu tanımlamaktadır. Helisin genliği p’ye bağlıdır ve bьyьk Momentumlar sık helezonlara; kьзьk Momentumlar seyrek helezonlara karşılık gelmektedir.

Sırası gelmişken, teorimizde sıkзa kullandığımız ve Kьtleзekim alanının da helezonik bir şekilde olması sebebiyle, burada bu helezonik yapının matematiksel yapısını biraz aзabiliriz. a helezonun yapıзapı ve b helezonun sıklığını gцsteren katsayılar olmak ьzere bir helezonun kartezyen koordinatlardaki genel olarak parametrik denklemi;

denklemleriyle ifade edilebilir. Helezonu tanımlamanın bir diğer kullanışlı yolu da, e^ix şeklinde Euler aзılımıyla komplex-polar koordinat sisteminde gцstermektir;

Цzel olarak, kьtleзekim alanında helezonik yьzey ьzerindeki diferansiyel uzaklık ifadesinde kullanılan koordinat şekli ELİPSOİDAL HELEZON olup;

, ve veya hiperbolik formda;

olmak ьzere ve aralığında integrali alınırsa;

ve elipsoidal helezonun yьzey eğriliği;

olarak belirlenir. Bu durumda bu metrik uzaklık ifadesi, minkowsky uzayında c, ışık hızında titreşen bir elipsaidal helezon yьzeyi tanımlar. Eğer, kьresel koordinat sisteminde helezonu parametrik olarak tanımlarsak ve 4-boyutlu uzay-zaman iзin diferansiyel uzaklık ifadesini yazarsak;

olmak ьzere;

ve uzaya yayılan ekstra 5. boyutu da olarak eklersek, 5-boyutlu helezonik diferansiyel uzaklık ifadesi;

şeklinde olur.

Tьrk fizikзisi Prof. Ergin SEZGİN’e gцre, bu helezonik yьzey olmak ьzere, şeklinde değişen iki HOLOMORFİK parametrik denklemle yeniden belirlenirse 3’lь grup simetrisine sahip SU(3) ve SO(3) grup simetrisine sahip bir sicim manifoldunun hiperyьzeyine denk gelebilir. Hatırlarsak, uzay-zaman yapısının HİPERBOLOİD yapısını gцz цnьne alarak, birleşik alan teorisinde Conform dцnьşьmь kullanmıştık. Teorimizde kullanmayacağımız iзin, holomorfik uzay dцnьşьmlerinin detaylarına girmedik. Geometrik olarak gцsterimi zor olan bu dцnьşьm sonucunda bir geometrik şekil, sicimlerin 5-boyutlu ek uzay-zaman boyutlarına yayılması sonucu ELİPTİK HELEZONOİD bir kıvrım yьzeyi oluşturduğunu цngцrьr.

Bu durumda, bu metrik izotropik uzay-zaman manifoldunun yьzeyi kompleks dьzlemde;

şeklinde dьz ve eğri uzay-zaman bileşenlerinden oluşan iki parзalı bir yapı sunar.

Aşağıdaki şekillerde bu manifold yьzeylerine ait зeşitli modeller verilmektedir: