Зizgisel İntegral

integralleri a noktası ile b noktasını birleştiren belirli bir eğri boyunca hesaplanırlar ve bu nedenle “зizgisel integral” adını alırlar. Bu integrallerden ilki elektromanyetizma iзin, ikincisi ve ьзьncьsь ise, kьtleзekim kuramı iзin цzellikle цnemlidir; Цrneğin, elektrostatik alanı iзindeki Q yьkьnь a noktasından b noktasına taşımak iзin yapılan iş;

olarak hesaplanır. Bu integralin hesaplanabilmesi iзin зizgisel integralin; ve a ile b’ye birleştiren eğri (yani d ) koordinatlarının bilinen fonksiyonları olması gerekir. Зizgisel integralde a ve b noktaları aynı ise, bu durumda integral kapalı bir yцrьnge boyunca alınmış olur ve

olarak temsil edilir. Цzel durumda, bir vektцr alanının herhangi bir kapalı yol boyunca зizgisel integrali sıfır ise, bu vektцr alanına “korunumlu alan” adı verilir. Korunumlu bir alanda зizgisel integral yola bağımlı olmayıp, sadece integralin uз değerleri arasındaki farka bağlıdır:

 

Green teoremine gцre, sakınımlı alanlar (Elektrik ve Manyetizma gibi), toplam bir alan bileşeninin (Kьtleзekim alanı gibi) parзaları ise; kapalı bir yьzey ьzerindeki toplam akı değişimi sıfır olacağı iзin;

 

yukarıdaki şekildeki gibi iki adet tekillik noktası oluşturur ki, kapalı bir vektцr alanı havuzu iзerisinde elektromanyetizmayla kьtleзekiminin birleşimini цngцren bu yapının, Birleşik alan denklemlerinde kьtleзekim alanının, Green teoremi doğrultusunda bu зeşit bir birleşik alan kuvveti şeklinde davrandığını gцsterir. Ayrıca, Galaktik цlзeklerde Green teoreminin зцzьmleri birbiri etrafında dцnen Karadelik ve Akdelik зцzьmlerine denk gelir. Benzer bir yaklaşımı, Stokes Teoremi de vermekte olup, onu burada vermedik. Dolayısıyla, aşağıdaki formьlasyonlardan da anlaşılıyor ki, Green, Diverjans ve Stokes teoremleri birbiriyle bağlantılı bir yapı oluşturup, tek bir birleşik ana teoremin parзaları gibi davranmaktadır. Bu da matematiksel dьzeyde de alan teorilerinin temelde birleşik bir yapısı olduğu fikrini dьşьndьrmektedir, fakat burada bunun matematiksel isbatına girmedik. İsteyen okuyucu, зalışmamızın iзerisindeki bu temel teoremlerin birbiriyle olan bağlantılarını inceleyebilir.