Yьzey ve Hacim İntegralleri

Bazı fonksiyonların yьzey integralleri bildiğimiz nesnelere benzeyen şekiller verir. Bir цrnek: Lemniskat ve Kardioid (Kalp) eğrisinin kendi ekseni etrafında dцndьrьlmesi Kabak ve Elma şekillerini meydana getirir. İlginзtir ki, -Newton’un başına dьşen!- elmanın şeklini belirleyen yьzey alanı, katı bir cismin eylemsizlik momentine ilişkin ьз katlı hacim integraline denk gelir.

vektцr alanını ve şekilde gцrьlen S yьzeyini gцz цnьne alalım. S yьzeyini dS₁, dS₂, ..., dS_n gibi kьзьk parзalara ayıralım. Her bir yьzey parзasının bulunduğu yerde vektцr alanının “ortalama” değerini ₁, ₂, ... _n ile gцsterilim ve her bir dS_k yьzeyinde dik birim vektцr , dS_k ‘nın dışına doğru pozitif alınır.

vektцr alanının S yьzeyi ьzerindeki akışlı toplamını hesaplar ve dS_i ® D limitini alırsak yьzey integrali kavramına ulaşırız:

Genel olarak sonsuz kьзьk yьzey elemanı

olarak tanımlanır, bцylece yьzey integrali,

şeklinde yazılır ve S yьzeyi kapalı bir yьzey ise,

şeklinde gцsterilir, burada her yerde yьzeyin iзinden dışına doğru yцneltilmiştir. Bцyle bir integrali hesaplayabilmek iзin ve ’yi aзık fonksiyonel formda ifade edebilmeliyiz. İki değişken ьzerinden hesaplanan integrallere зift hatlı integraller adı verilir. Genel olarak, : A’nın S yьzeyi ьzerinden akışını ifade eden зift katlı integraldir.

_, olarak kapalı yьzey boyunca yьzey integrali (Зift katlı integral)

_, olarak kapalı yol boyunca зizgi integrali (Tek katlı integral)

_, olarak kapalı hacim boyunca hacim integrali (Ьз katlı integral) olarak tanımlanır.

 

Hacim integralinde dt uzayın V gibi bir kapalı bцlgesinde tanımlanan sonsuz kьзьk bir diferansiyel hacim elemanıdır (Цrneğin, Kartezyen koordinatlarda dt= dx.dy.dz’dir). Hacim integralleri, ьз katlı integrallerdir ve Birleşik alan teorisinde yьk veya kьtle yoğunluklarının hesaplanmasında kullanılırlar.