Rotasyonel ve Stokes Teoremi

P(x,y), herhangi bir sьrekli vektцr alanına ait bir fonksiyonu tanımlasın.

Bundan цnce зizgisel integral kavramını tanımlamıştık ve kapalı bir yцrьnge boyunca зizgisel integrali sıfır olan korunumlu vektцr alanı kavramını vermiştik. Şimdi bir vektцr alanının yukarıdaki gibi herhangi bir kapalı yol boyunca зizgisel integralini hesaplamaya зalışalım. Basitlik iзin kapalı yцrьnge olarak xy, dьzlemi iзinde sonsuz kьзьk dC yolunu alırsak, bцylece I-III ve II-IV karşılıklı diferansiyel akım elemanlarının toplamı:

şeklinde ifade edilebilir. Yukarıdaki verilen зizgisel integral ifadesine benzer şekilde buradaki integralleri,

olarak hesaplayabiliriz ki, iki parantez iзindeki işaret farkı alt ve ьst parзalarda зizgi elemanlarının ters işaretli oluşundan kaynaklanmaktadır. Sonuз olarak,

bulunur, benzer şekilde,

ve her iki integrali toplarsak,

sonucuna varırız. Elde edilen sonuз yalnızca зizgisel integral alırken eğer ьzerinde dolaşma yцnьnьn sağ el kuralıyla belirlenmesine bağlı olacaktır. Зizgisel integrallerin hesabı standart gereği sağ el kuralına gцre yapılır.

¶A_y/¶_x-¶A_x/¶_y , ‘nın rotasyoneli olarak isimlendirilen vektцrьnьn 2. bileşenidir. Ьз boyutlu uzayda sonsuz kьзьk değeri, eğri boyunca hesaplamak iзin yukarıdaki sonuз, genel olarak;

şekline girer ki, buradaki sonsuz kьзьk eğri ile sınırlı yьzey elemanıdır ve yцnь sağ el kuralıyla belirlenir. Sonlu bir eğri boyunca integral almak iзin bu eğriyi sonsuz kьзьk kapalı halkalar ağına bцler ve rotasyonelin fiziksel anlamını tanımlar ki, bunlar ьzerinden toplam alırsak, bitişik eğriler ьzerinde dцnьş yцnleri farklı nedeniyle toplamlar sıfır olacağından yalnızca dış eğri boyunca зizgisel integral elde edilir:

Bu eşitlik “Stokes teoremi”nin ifadesidir.