MANYETİK MONOPOLLERE DOĞRU: YENİ BİR 5-BOYUTLU UZAY-ZAMAN MODELİ İNŞA ETMEK

Birleşik alan teorisi, kuantum karadelik tekilliği noktasında, 5 ve daha yьksek boyutlardaki sьpersicim zar yьzeyi ьzerinde tanımlandığı iзin ve bu mekanizmanın merkezindeki tekillik noktasında yer alan Manyetik Monopoller, teorimizi ьzerine inşa ettiğimiz birer kalıp (Tabi burada inşatta kullanılan tahta kalıplardan bahsetmiyoruz!) gibi dьşьnьldьğь iзin, şimdi bu uzay-zaman kalıbı iзin yeni bir matematiksel uzay-zaman modeli oluşturmalıyız. Geзtiğimiz yьzyılın başlarında fizikзiler atomun iзinde neler olduğunu tartışıyorlardı (Bazıları hala tartışmaktadır!) fakat gьnьmьz fizikзileri ise, bundan зok daha kьзьk цlзeklere inebilmeyi başardılar ve artık biz atomun iзindekilerin iзinde ne olduğunu (Aynen matruşka bebekleri gibi!) veya nasıl bir uzay-zaman yapısına sahip olduğunu tartışmaktayız. Einstein-Maxwell denklemlerinin sonuзları, Manyetik monopollerin elektromanyetik kьtleзekim alanındaki davranışından hareket ederek, parabolik yani yumurta biзiminde bir yapı sergilediklerini цngцrmektedir. Цzellikle birbiri etrafında dцnen manyetik yьkleri (Q) Schwarschild karadelik denkleminin цzel зцzьmleri, bir parabloid şeklindeki bir uzay-zaman зukurunu tanımlamaktadır. Dolayısıyla, manyetik monopol mekanizması iзin kuantum boyutlarında inşa edeceğimiz Quadratik uzay-zaman modeli, parabolik bir uzay olmalıdır. Tabi burada inşa edeceğimiz uzay-zaman modelinin birleşik alan denklemlerine uygun bir şekilde зalışabilmesi iзin, bazı yaklaşıklıklar altında цrneğin C, P ve T simetrisine gцre invariant kalacağını bir цnkabul olarak kabul etmeliyiz. Bilindiği gibi, Dirac uzay-zaman denklemlerini ifade eden;

Denklemi QCD ve QED iзerisinde dьzgьn bir şekilde işlev gцren ve aynı zamanda elektromanyetik kьtleзekim alan tansцrlerine uygun bir yapısı olan ьз adet eğri uzay-zaman modelini tanımlar. Biz, bu denklemde gerekli olan bazı modifiyeler yaparak teorimize uygun olan parabolik uzay-zaman modelini inşa edeceğiz. Peki, binlerce uzay-zaman modeli (Hilbert, Riemann, Minkowsky veya Weyl gibi) varken neden Dirac denklemini seзtik? Bunun cevabı aslında teorimizin temel yapıtaşında, yani gravitonda saklıdır. Hatırlarsak, birleşik alan teorisine gцre en kьзьk temel yapıtaşının bir graviton olacağını цngцrmьş ve teorimizi spini 2 olan graviton ьzerine inşa etmiştik. İşte, Dirac’ın цnemi burada devreye girmektedir. Зьnkь dirac denklemleri spini 2 değerini veren gravitonu ve aynı zamanda manyetik monopolьn varlığını da цngцren, ьstelik yьk değerinin hesaplanabileceğini цngцren tek denklemdir. Dolayısıyla, birleşik alan teorisinin her ikisini de iзermesi gerektiğinden, teorimizi inşa ettiğimiz uzay-zaman modelinin de bu temel partikьlleri iзermesi gerekmektedir. Quadratik (Klasik 4-boyutlu) uzay-zaman iзin bu denklem;

şeklinde QST, yani quadratik bir uzay-zaman yapısı iзerir. Denklemi şu şekilde değiştirirsek de;

şeklinde HST, yani hiperbolik uzay-zaman yapısını tanımlar. Şimdi gelelim esas aradığımız parabolik uzay-zaman (PST) yapısını elde etmeye. Denklemlerdeki;

Dirac 4-vektцr spinorunu ve ise sırasıyla 4Ч4

Dirac Gamma, Gamma-bar ve Gamma-hat (meksika şapkası) matrislerini;

şeklinde ifade etmektedir. Bu matris ifadeleri, ileride elektromanyetik yьk ve akım kaynaklarını ifade etmek iзin зok kullanışlı olacaktır. Buradaki ’ler, 2Ч2 Pauli matrislerini ve I ise, birim цzdeşlik matrisi ifade eder. μ ise, olarak tansцr indislerini gцstermektedir. Şimdi, tansцr зarpımını şeklinde bir matrisle gцsterirsek ve a=1 olarak alırsak;

elde edilir. Birleşik alan teorisinden ьzerinde зalışacağımız koordinat sistemi genellikle kьresel koordinat sistemi olacağı iзin simetriyi kolaylaştırmak iзin şimdi bu tansцr matrislerini kьresel koordinat sisteminde ifade etmeliyiz. Bunun iзin, ilk цnce Lorentz dцnьşьm matrisini kьresel koordinat sisteminde yazarsak;

ve R(Θ),

 

şeklinde herhangi bir Dirac matrisini ifade etmek ьzere;

 

şeklinde bu matrislerdeki bileşenleri Gamma fonksiyonlarıyla seri toplamı şeklinde tek tek aзarak ifade edersek;

 

ve tьm matrisleri bir seri toplamı şeklinde ifade edersek;

olmak ьzere, buradaki Levi-Civita tansцrьnь gцstermektedir. Bцylece şeklinde kapalı ve sonlu bir kьresel yьzey alanı ifadesi iзin simetrik bir matris toplamı serisi elde edilmiş oldu. Bu şekildeki bir toplam ifadesinin yazılmasında, ilerki kısımlarda gцreceğimiz gibi, yьk ve akım yoğunluğu kaynaklarını ifade etmek iзin bьyьk bir kolaylık olduğunu gцreceğiz. Pauli matrisleri ise olmak ьzere;

Lorentz dцnьşьmlerine gцre,

olmak ьzere 2Ч2 şeklinde matrisel olarak aзılırsa, konjuge transpoze Pauli matrisleri olmak ьzere;

Matrislerini de aзarsak;

Denklemlerini ortak olarak зцzdьğьmьzde;

iзin;

iзin;

ve iзin;

зцzьmleri elde edilir.

Bu durumda Pauli matrisleri;

 

olarak elde edilir. Şimdi Lorentz dцnьşьmlerini kьresel koordinat sisteminde ifade edersek, olmak ьzere Simetrik tansцr matrisi;

ve bu matris ifadesini de;

olmak ьzere yeniden dьzenlersek;

Bu ifadeye ilişkin dual tansцr dцnьşьmь ise;

ve son olarak da akım kaynaklarını da Dirac matrisi olarak ifade edersek;

 

 

Tansцr matrisleri elde edilmiş olur. İşte bu tansцrlerde, ilgili potansiyel fonksiyonuna ilişkin değerler verilip alan bileşenleri yerleştirildiğinde ve bu tansцrьn eşleniği olan dual tansцrь elde ettiğimizde Birleşik alan denklemlerinin kolaylıkla yazılabileceğini, sonuз denklemlerin elde edilebileceğini ilerleyen kısımlarda gцreceğiz. Dolayısıyla, bu kompleks dьzlemde ifade edilen Dirac-gamma fonksiyonu matrislerinin, ileride gцreceğimiz gibi bu matrisdeki her bir elemanının uzayda bir alan bileşenine denk dьşeceğini gцreceğiz.

Şimdi, matematiksel uzay-zaman modelimizin detaylarına girmeden цnce burada Gamma fonksiyonun kulanılmasının цneminden kısaca bahsedelim. Gama fonksiyonu Matematikte faktцriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar iзin genellenmesi olan bir fonksiyondur. Fizikte ve mьhendislikte pek зok alanda uygulaması vardır. Г simgesiyle gцsterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır:

Gamma fonksiyonu aşağıdaki gibi de tanımlanabilir: