METRİK TANSЦR

 

N- boyutlu uzayda uzunluk elemanının karesi:

veya kısaca;

olarak tanımlanır. Burada g_pq’ya metrik tansцr denir. Ьз boyutlu uzayda metrik tansцr:

şeklinde bir kare matris olarak ifade edilebilir. Kьtleзekim alan tцnsцrьnьn temel bileşenlerinden birisidir. Ortogonal koordinatlar sisteminde metrik tansцrьn diyagonal elemanlarının dışındakiler sıfırdır. g_pq metrik tansцrьn eşleniği olan g^pq tansцrь, ьз boyutlu uzayda g_pq=g metrik tansцrьn tersi olup, g^pq=g^-1 şeklinde ifade edilebilir. Burada g=det (g)’dir.

 

Dairesel silindirik koordinat sisteminde uzunluk elemanının karesi;

 

‘dir. Burada metrik tansцr:

olup, eşleniği:

olarak bulunur.

Yine benzer yцntemle kьresel koordinat sisteminde uzunluk elemanının karesi:

’dir. Buradan metrik tansцr:

olup, eşleniği:

olarak bulunur.

Bu durumda, ьз boyutlu uzayda ortogonal koordinatlar sisteminin koordinatlarını bulduğumuz bu metrik tansцr bileşenleri cinsinden kontravariant ve kovariant tansцr bileşenleri olarak (A^p, A_q) yazarsak:

şeklinde ifade edilir.

Dairesel silindirik koordinat sisteminin koordinatlarının birinci mertebeden A^p tansцr bileşenleri cinsinden ifadesi:

ve metrik tansцrьn determinantı g=ρ² olmak ьzere,

olur.

Yine kьresel koordinat sistemi koordinatlarının birinci mertebeden A^p tansцr bileşenleri cinsinden ifadesi:

 

ve metrik tansцrьn determinantı g = r⁴sin²θ olmak ьzere,

 

olur.

 

Bu зıkarttığımız ifadeler ve tansцr bileşenleri ilerki bцlьmlerde зok işimize yarayacak ve elektrik alan, manyetik alan ve kьtleзekim alanına ait enerji-momentum tansцr bileşenlerinin ifade edilmesinde kullanılacaktır.

 

TEORİNİN GEOMETRİK TEMELLERİ