GENEL DURUMDA 5-BOYUTLU "İNDİRGENMİŞ MAXWELL TİPİ” DENKLEMLERİN ELDE EDİLMESİ VE SONUЗLARI

 

Bu bцlьmde en genel haliyle, 4-Boyutlu indirgenmiş Enerji-Momentum Tansцrleri ve Ricci Tansцrьne ilişkin koordinat sistemine bağlı bir bileşen (Φ koordinatı) boyunca ele alacağımız fiziksel bьyьklьklerin sabit kaldığını dьşьnerek kьresel simetrinin korunduğunu ve bu varsayım altında Kaluza-Klein teorisinin Maxwell denklemlerine indirgenebilen зцzьmlerini elde edeceğiz. Daha sonra da, bu denklemlere ilişkin yeni bir Elektromanyetik Kьtleзekim Alanı Tansцrь yapısı oluşturacağız.

 

SİLİNDİRSEL BİLEŞENE (Φ) BAĞLI OLMAYAN VE DURUMUNDA “MANYETİK YЬK” VE “MANYETİK AKIM” İЗEREN DENKLEMLERİN ELDE EDİLMESİ

Bu durumda, yani durumunda;

dцnьşьmь altında ’nin invariant kalmasından dolayı elde edilecek tansцr зцzьmleri, elektromanyetik tipte 4-Boyutlu “Manyetik Akım” ve “Elektrik Akım” kaynaklarını iзeren Kьtleзekim-Alanı denklemlerine indirgeneceğini gцreceğiz.

 

Tansцrьne ilişkin, manyetik ve elektrik akım kaynaklarını iзeren maxwell tipi denklemlerden yararlanarak ifadesini;

 

denklemlerinde yerine koyarsak:

 

 

denklemi elde edilir.

Burada ‘dir. Elde edilen bu tansцr denkleminde ise, aradığımız ьз alan denklemi olan, Elektrik, Manyetik ve Kьtleзekim Alan Tansцrleri, akım kaynaklarını da iзerecek şekilde bir arada bulunmaktadır. Dolayısıyla, ifadesi Kьtleзekim Alan Tansцrьne; ifadesi Manyetik Alan Tansцrьne; ifadesi ise, Elektrik Alan Tansцrьne denk dьşmektedir.

olmak ьzere Elektrik Alanına; Bⁱise Manyetik alanına eşdeğerdir. Burada, Bⁱ manyetik alanının kьtleзekim alanının eğriliğini belirleyen цzel bir цnemi vardır ki, o da bu bileşenin kьtleзekim alanının esas belirleyici geometrik цzelliği olan helezonik yapısını kazandırmasıdır. Dolayısıyla, manyetik alanın olmadığı durumlarda (цrneğin, manyetik yьkьn sıfır olduğu ideal bir vakum ortamında) kьtleзekimi dьz bir uzay-zaman hattı izlemesi gerekirken; bu manyetik alanın varlığında kьtleзekim alanı spiral bir yapı kazanmıştır. İfadelerdeki λ, 3-Boyutlu uzay-zamanın metrik determanantıdır. 3-Boyutlu uzay-zaman cinsinden yukarıdaki ifadelerde ve indislerini koyarsak:

denklemleri elde edilir. Burada koordinat bileşenlerine sahip manyetik akım yoğunluğu vektцrь olmak ьzere M₀ ve M, 3-Boyutlu skaler ve vektцrel bьyьklьkler cinsinden dцnьşьmь altında invarianttır. Şimdi ve indislerini,

 

denkleminde yerine koyarsak ve yeniden dьzenlersek:

denklemleri elde edilir. İşte bu (1), (2), (3) ve (4) denklemleri Manyetik alanı ve Elektrik Alanının oluşturduğu Kьtleзekim Alanının kaynağı olan bьyьklьkleri (“Manyetik Yьkь” ve “Manyetik Akım Yoğunluğu”) iзeren aradığımız 5-Boyutlu Sonuз Maxwell denklemleridir. Şimdi elde ettiğimiz Bu dцrt Maxwell denklemini, elektriksel akım kaynaklarını da iзerecek şekilde yeniden dьzenlersek:

denklemleri elde edilir. Şimdi de bu altı denklemi, 5-Boyutlu uzaydan 4-Boyutlu uzaya dцnьşьmь sağlayan İnvariant Transformasyonu altında Kьtleзekim Alanına ait Kьtleзekim Alan Tansцrьnь toplu halde ve tek bir denklemde ifade edecek şekilde yeniden dьzenlersek:

Tansцr denklemi elde edilir. İşte sonunda, sonuз olarak aradığımız kaynakları da iзeren 5-Boyutlu Kьtleзekim Alan Tansцrь’nь elde etmiş olduk. Tansцr Denklemindeki, ifadesi, Alan Bileşenlerini 5. Boyuttan 4. Boyuta kodlayan Sınır-Teğet Yьzeyi ьzerindeki ortamın, ışık hızına (c) bağlı, Manyetik ve Elektrik Alan Metrik Tansцr fonksiyonlarına; ifadesi (Bu ifade, 5-Boyutlu uzay-zamanda boş uzay iзin, Elektromanyetik Kьtleзekim Dalga hızını belirleyen ’a eşittir), yьzeyin elektrik geзirgenliğine (Bu ifade, 5-Boyutlu uzay-zamanda boş uzay iзin =’a eşittir); ifadesi, yьzeyin manyetik geзirgenliğine (Bu ifade, 5-Boyutlu uzay-zamanda boş uzay iзin =’a eşittir) denk gelmektedir. Şimdi bu Tansцr Denklemini yukarıda elde ettiğimiz 5-Boyutlu altı Maxwell Denklemine gцre yeniden dьzenleyip, Kьtleзekim Alanını elde etmek ьzere, tek bir denklemde ifade edersek:

Denklemin sol tarafındaki ifadesi, Kьtleзekim Tekillik merkezindeki Manyetik alanın kaynağı olan, MANYETON’un (Manyetik Monopol) () oluşturduğu Kьtleзekim Alanının kaynağı olan “Graviton Akım Yoğunluğuna” (); denklemin sağ tarafındaki ifadesi, Kьtleзekim Sınır-Teğet yьzeyi ьzerindeki elektriksel yьk yoğunluğunun () oluşturduğu Elektrik Alanının kaynağı olan “Elektrik Akım Yoğunluğuna” denk gelmektedir. Şimdi ve indislerini koyarak Maxwell denklemlerine gцre bu tansцr denklemini yeniden dьzenlersek, aşağıdaki Kьtleзekim Alanı Denklemlerini elde ederiz:

Buradaki, “Manyetik Yьk Yoğunluğu”, “Manyetik Akım Yoğunluğu” ve “Elektrik Akım Yoğunluğu” fiziksel bьyьklьklerine ilişkin bazı цzellikler aşağıda verilmektedir:

 

1)- İnvariant transformasyonu altında ve Alanları, transformasyonuna gцre invariant kalacaktır. Burada “g”, 5-Boyutlu uzay-zamandan 4-Boyutlu uzay-zamana dцnьşьm sırasındaki metrik katsayıdır. Bu denklem dikkatli incelenirse, Elektrik ve Manyetik Alana gцre simetrik olarak yazılmış olduğu ve bunun sonucunda da denklemin sol tarafındaki ifadesinden dolayı mutlaka Manyeton’un oluşturduğu Graviton akım yoğunluğundan kaynaklanan ve Kьtleзekim Alan Tansцrьnьn kaynak yьkьnь oluşturan GRAVİTON’u цngцrdьğьnь aзıkзa gцrebiliriz. Dolayısıyla Kьtleзekim Alan Tansцrlerini 5-Boyutlu uzaydan 4-Boyutlu uzaya indirgediğimizde kullanacağımız yeni diferansiyel invariant uzaklık ifadesi bu durumda:

 

ve 4-Boyutlu uzay-zamana ait metrik determinant:

 

olur. Bu durumda ve arasındaki ilişki:

olur. ve arasındaki ilişki:

 

 

Ve , ve arasındaki ilişki ise:

 

 

Denklemlerdeki ve tansцrleri arasındaki ilişki ise:

şeklinde olur. λ’ya bağlı rotasyonel ve diverjans ifadelerini ise herhangi bir skaler ”a” vektцr alanı cinsinden şцyle tanımlayabiliriz:

 

Hermitian “M” akım yoğunluğu Dirac matrisini de tanımlarsak;

 

2)- ifadesindeki ε faktцrь, daha цnceki Enerji-Momentum tansцrь ifadelerindeki benzer durumlar gibi 5-Boyutlu uzay-zamanın extra boyutunun (5. Boyutun) bir etkisidir Dolayısıyla bu etki Elektrik Alandan kaynaklanmaktadır ve skaler alanların цlзek değiştirmesi durumunda (Цrneğin, olması gibi) fiziksel bьyьklьğьn (Цrneğin, Elektrik Alan gibi) invariant kalmasını sağlar.

 

3)- ve yьk yoğunluklarının korunumlu olduğu fiziksel durumlarda ve ifadeleri şцyle tanımlanabilir:

 

4)- Yukarıdaki sonuз denklemlerden ve Antisimetrik Elektromanyetik Kьtleзekim Tansцrьnьn yapısından dolayı extra koordinata bağlı olmayan durumda (yani 5. Boyutun olmaması durumunda )bu denklemler kaynak iзermeyen Maxwell denklemlerine indirgenecekti. Yani:

 

olacaktı. Fakat 4-Boyutlu uzay-zamanın ьzerindeki boyutlara зıkıldığında kendisini kьtleзekim alanı olarak hissettiren Manyetik Monopoller (Manyetik yьkler veya Manyetonlar), Kьtleзekim Yьkleri (veya Gravitonlar) ve diğer Elektriksel Akım kaynaklarının varlığını matematiksel olarak elde ettiğimiz 5-Boyutlu maxwell denklemlerine gцre kabul etmeliyiz.

Зьnkь bu durumda; (3) ve (6) denklemlerine gцre, ve şeklinde bir manyetik yьk akım yoğunluğunun oluşturduğu denklemiyle verilebilen bir manyetik alan; (1) ve (5) denklemlerine gцre;

 

,

ve şeklinde bir elektrik yьk akım yoğunluğunun oluşturduğu alanı ve (7) ve (8) denklemlerine gцre ise;

 

şeklinde bir graviton akım yoğunluğunun oluşturduğu:

 

+

 

kьtleзekim alanı mevcuttur.

 

(3) ve (5) denklemlerine dikkat edilirse, manyetik alanın oluşması iзin, şeklinde sabit bir manyetik yьk yoğunluğu (Manyetik Monopol); elektrik alanın oluşması iзin;

şeklinde sabit bir elektriksel yьk akım yoğunluğu gerekli ve yeterli olduğu halde; kьtleзekim alanının oluşması iзin ise;

şeklinde sabit bir manyetik alanın yanı sıra hareket halindeki kьtleзekim yьkleri mutlaka gereklidir. Dolayısıyla buradan, kьtleзekim alanı зizgilerinin elektrik ve manyetik alan зizgileri gibi sabit olmadığını, kьtleзekim alanının oluşması iзin sabit manyetik monopollerin yanı sıra kьtleзekim alanını bir yerden bir yere taşıyacak parзacıklara, yani Planck цlзeğinde Sicimsi yapılar halinde sıralanmış bulunan ve tьm uzay-zamanı kaplayarak sьrekli dinamik durumda bulunan ve titreşen Graviton’lara, gereksinim olduğu sonucunu зıkarabiliriz ve bunun sonucunda da, kьtleзekim alanının elektrik ve manyetik alan gibi kısa erimli olmadığını, evrensel зapta ve tьm uzay-zamanda genel geзerli olan temel bir dinamik kuvvet alanı olduğunu gцrebiliriz.

 

SİLİNDİRSEL BİLEŞENE (Φ) BAĞLI OLMAYAN VE DURUMUNDA “ELEKTRİK YЬKЬ” VE “ELEKTRİK AKIMI” İЗEREN DENKLEMLERİN ELDE EDİLMESİ

 

Manyetik yьk ve manyetik akım ifadelerini elde ettikten sonra şimdi de bazı yaklaşıklıklar altında ve ara hesaplamaları yapmadan;

 

Alan denklemlerinden “Elektrik Akımı” iзeren tansцr зцzьmьnь şцyle elde edebiliriz:

Burada,

olarak indьklenen elektrik akım yoğunluğu, c ışık hızı ve olarak elektriksel akım ve yьk yoğunluğuna bağlı boş uzayın “Polarizasyon Katsayısıdır”.

Bцylece en genel durumda (Silindirsel bileşene (Φ) bağlı olmayan ve durumunda) 5-Boyutlu uzay-zamandan 4-Boyutlu uzay-zamana indirgenmiş tansцr denklemlerinin зцzьmlerini iзeren;

Kьtleзekim Alanı ,

Manyetik Alan ve

Elektrik Alana ilişkin;

MAXWELL DENKLEMLERİ:

olarak elde edilir.