Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы:
xi | x1 | x2 | … | xn | |
yi | y1 | y2 | … | yn | (1) |
Поставим задачу об отыскании аналитической зависимости между x и y, т.е. некоторой формулы y=f(x). При этом потребуем, чтобы график искомой функции изменялся плавно и не слишком уклонялся от экспериментальных данных. Поиск такой зависимости называют «сглаживанием» экспериментальных данных. Формулу y=F(x) – эмпирической формулой или уравнением регрессии y на x.
Предположим, что приближающая функция y=F(x) имеет значения.
xi | x1 | x2 | … | xn | |
… | (2) |
Рассматривая совокупности (1) и (2) как координаты двух точек
n-мерного пространства, найдем расстояние между ними по евклидовой метрике
Потребуем, чтобы эта величина была наименьшей. Это равносильно тому, что сумма квадратов должна быть наименьшей:
или
Тогда задача приближения функции f формулируется следующим образом: для функции f, заданной таблицей, найти функцию F определенного вида так, чтобы сумма квадратов была наименьшей.