Задання положення матеріальної точки в просторі

Для вивчення закономірностей руху матеріальної точки застосову-ють три способи задання положення цієї точки в просторі: векторний, координатний і природний (або натуральний). Рух матеріальної точки (а значить, і її положення у просторі в будь-який момент часу) вважається заданим, якщо відома залежність від часу радіуса – вектора або координат цієї точки при векторному й координатному способах задання, і траєкторія точки й закон руху при природному способі задання. Останній спосіб розглядається в курсі теоретичної механіки. У фізиці використовуються переважно перші два.

Рис. 2.1

 

Радіусом – вектором деякої точки m (рис. 2.1) називають вектор, проведений із точки початку відліку (початку координат) у дану точку. Він однозначно визначає положення точки у просторі і вважається заданим, якщо відомі його довжина і напрямок (тобто модуль і кути α, β і γ).

На рис. 2.1 m_x, m_y і m_z - проекції точки m на координатні осі, r_x, r_y і r_z – проекції радіуса-вектора на координатні осі. Очевидно, що для рухомої точки радіус-вектор залежить від часу: . Проекції радіуса-вектора на координатні осі називають декартовими координатами точки: r_x = r cos α = x; r_y = r cos β = y; r_z = r cos γ = z. Оскільки радіус-вектор залежить від часу, то і координати точки m також є функцією часу. Таким чином, закон руху точки m може бути заданий системою рівнянь:

x = x (t), y = y (t), z = z (t), (2.1)

або еквівалентним їй рівнянням

(2.2)

Їх називають кінематичними рівняннями руху матеріальної точки. Для системи n матеріальних точок (або тіл), кожна з яких має свою масу m_i і радіус-вектор , радіус-вектор центра інерції визначається рівнянням:

(2.3)

Координати центра інерції визначаються так само, як і координати матеріальної точки. Модуль радіуса-вектора може бути виражений через координати на підставі теореми Піфагора:

(2.4)

а сам радіус-вектор – через координати точки і орти , , ,

(або , , ) координатних осей:

(2.5)

Величини (прийнято обидва ці позначення) називають ортами (або одиничними векторами) координатних осей. Мо-дуль кожного орта дорівнює одиниці в обраній системі одиниць, а його напрямок збігається з напрямком відповідної координатної осі.