Розв’язати рівняння

ПРИКЛАДИ РОЗВЯЗАННЯ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ:

1. Розв’язати рівняння:

Оскільки це рівняння можна записати у вигляді

то воно є рівнянням з відокремлюваними змінними. Розділимо змінні:

і проінтегруємо його .

Отримуємо

Потенціюючи, дістаємо загальний розв’язок рівняння:

2. Розв’язати рівняння:

Дане рівняння перепишемо у вигляді:

Отже, рівняння є однорідним. Використаємо підстановку , тоді рівняння буде

, або .

Відокремимо змінні

; ; .

Загальний розв’язок рівняння буде

, або .

3. Знайти розв’язок рівняння , що задовільняє початкову умову .

Дане рівняння є лінійним рівнянням першого порядку. Поклавши , матимемо:

; .

Отримаємо два рівняння:

1) ; 2) ;

; ;

. .

Загальний розв’язок даного рівняння

Знайдемо значення стадої , при якому частинний розв’язок задовольняє задану початкову умому:

, звідки .

Отже,шуканий частинний розв’язок має вигляд .

4.Розв’язати рівняння

У даному випадку

Оскільки

то ліва частина заданого рівняння є повним диференціалом деякої функції , причому

(1)

Інтегруючи, наприклад, перше зцих рівнянь по (вважаючи сталою), маємо

, (2)

де – довільна диференційовна функція .

Диференціюючи рівність (2) по , згідно з другим рівнянням (1), дістанемо

тобто , звідки , тому

Отже, загальний інтеграл даного рівняння виражається рівністю

5.Розв’язати рівняння

Покладемо , тоді і маємо лінійне рівняння першого порядку відносно невідомої функції :

Розв’язавши це рівняння, знайдемо , тоді , звідки

6.Розв’язати рівняння

Поклавши

дістанемо

, або .

Це рівняння розпадається на два:

З першого маємо , звідки . У другому рівнянні відокремлюються змінні:

Оскільки , то

Звідси другий розв’язок рівняння буде:

Отже,задане рівняння має два розв’язки

, .

7.Розв’язати рівняння

Загальний розв’язок даного рівняння будемо шукати в вигляді , де – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння, – частинний розв’язок неоднорідного рівняння.

Характеристичне рівняння має корені , тому загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд . Оскільки правою частиною даного рівняння є функція виду , причому , то частинний розв’язок шукаємо в вигляді , тобто , де і – невідомі коефіцієнти. Знайшовши похідні ,та підставивши їх у рівняння, маємо

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, дістаємо систему рівнянь

звідки . Отже, частинний розв’язок даного рівняння має вигляд , тому

–

шуканий загальний розв’язок.

8.Розв’язати рівняння

Характеристичне рівняння має корені , тому загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд . Права частина даного рівняння , де і число збігається з одним із коренів характеристичного рівняння, тому частинний розв’язок даного рівняння шукаємо у вигляді , де і– невідомі коефіцієнти. Знайшовши похідні та і підставивши та у вихідне рівняння, після спрощень дістанемо

Прирівнюючи коефіцієнти при та у лівій і правій частині цієї рівності, дістаємо систему рівнянь

звідки . Отже, – частинний розв’язок даного рівняння, а загальний розв’язок буде

9.Розв’язати рівняння

Характеристичне рівняння має корені , тому загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд . Права частина не єфункцією спеціального виду, тому частинний розв’язок даного рівняння методом підбору шукати не можна. Знайдемо цей розв’язок методом варіації сталої. Складемо систему виду: