Розв’язати рівняння

ПРИКЛАДИ РОЗВЯЗАННЯ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ:

1. Розв’язати рівняння:

.

Оскільки це рівняння можна записати у вигляді

,

то воно є рівнянням з відокремлюваними змінними. Розділимо змінні:

і проінтегруємо його .

Отримуємо

.

Потенціюючи, дістаємо загальний розв’язок рівняння:

.

 

 

2. Розв’язати рівняння:

.

Дане рівняння перепишемо у вигляді:

.

Отже, рівняння є однорідним. Використаємо підстановку , тоді рівняння буде

, або .

Відокремимо змінні

; ; .

Загальний розв’язок рівняння буде

, або .

3. Знайти розв’язок рівняння , що задовільняє початкову умову .

Дане рівняння є лінійним рівнянням першого порядку. Поклавши , матимемо:

; .

Отримаємо два рівняння:

1) ; 2) ;

; ;

; ;

. .

Загальний розв’язок даного рівняння

.

Знайдемо значення стадої , при якому частинний розв’язок задовольняє задану початкову умому:

, звідки .

Отже,шуканий частинний розв’язок має вигляд .

 

 

4.Розв’язати рівняння

.

У даному випадку

Оскільки

,

то ліва частина заданого рівняння є повним диференціалом деякої функції , причому

(1)

Інтегруючи, наприклад, перше зцих рівнянь по (вважаючи сталою), маємо

, (2)

де – довільна диференційовна функція .

Диференціюючи рівність (2) по , згідно з другим рівнянням (1), дістанемо

тобто , звідки , тому

.

Отже, загальний інтеграл даного рівняння виражається рівністю

 

.

 

 

5.Розв’язати рівняння

.

Покладемо , тоді і маємо лінійне рівняння першого порядку відносно невідомої функції :

 

.

Розв’язавши це рівняння, знайдемо , тоді , звідки

.

 

 

6.Розв’язати рівняння

.

Поклавши

,

дістанемо

, або .

Це рівняння розпадається на два:

.

З першого маємо , звідки . У другому рівнянні відокремлюються змінні:

.

Оскільки , то

.

Звідси другий розв’язок рівняння буде:

.

Отже,задане рівняння має два розв’язки

 

, .

 

 

7.Розв’язати рівняння

.

Загальний розв’язок даного рівняння будемо шукати в вигляді , де – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння, – частинний розв’язок неоднорідного рівняння.

Характеристичне рівняння має корені , тому загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд . Оскільки правою частиною даного рівняння є функція виду , причому , то частинний розв’язок шукаємо в вигляді , тобто , де і – невідомі коефіцієнти. Знайшовши похідні ,та підставивши їх у рівняння, маємо

.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, дістаємо систему рівнянь

звідки . Отже, частинний розв’язок даного рівняння має вигляд , тому

–

шуканий загальний розв’язок.

 

 

8.Розв’язати рівняння

.

Характеристичне рівняння має корені , тому загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд . Права частина даного рівняння , де і число збігається з одним із коренів характеристичного рівняння, тому частинний розв’язок даного рівняння шукаємо у вигляді , де і– невідомі коефіцієнти. Знайшовши похідні та і підставивши та у вихідне рівняння, після спрощень дістанемо

.

Прирівнюючи коефіцієнти при та у лівій і правій частині цієї рівності, дістаємо систему рівнянь

звідки . Отже, – частинний розв’язок даного рівняння, а загальний розв’язок буде

.

 

9.Розв’язати рівняння

.

Характеристичне рівняння має корені , тому загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд . Права частина не єфункцією спеціального виду, тому частинний розв’язок даного рівняння методом підбору шукати не можна. Знайдемо цей розв’язок методом варіації сталої. Складемо систему виду:

де тоді система набуде вигляду:

Інтегруючи дістанемо

;

де і – довільні сталі. Отже, загальний розв’язок рівняння буде:

.

 

10.Розв’язати систему рівнянь

Продиференціюємо перше рівняння:

.

Підставимо в це рівняння значення похідної із другого рівняння системи:

.

Знайшовши з першого рівняння значення і підставивши його в знайдене рівняння, дістанемо

.

Маємо лінійне однорідне рівняння другог порядку з сталими коефіцієнтами. Інтегруючи його, одержуємо

.

Оскільки , то

Отже, загальний розв’язок даної системи має вигляд:

,

.

 

ВАРІАНТ 1

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 2

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 3

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 4

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 5

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 6

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 7

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 8

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 9

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 10

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 11

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 12

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 13

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 14

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 15

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 16

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 17

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 18

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 19

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 20

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 21

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 22

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 23

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 24

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 25

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 26

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 27

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 28

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 29

1. 2. 3.

ВАРІАНТ 30

1. 2. 3.