Д – во: рассмотрим движение механической системы (или твёрдого тела) относительно неподвижной системы координат Oxyz. Пусть С – центр масс этой системы (или тела). Свяжем с центром масс систему координат , которая движется вместе с центром масс поступательно.
Система координат связана с центром масс, но не с твердым телом: тело относительно этой системы движется. Обозначим через скорость k-той точки тела в этом движении (относительно системы ).
Т.к. тело участвует в сложном движении: движется вместе с центром масс и движется относительно центра масс, то скорость его k-той точки равна
Относительная скорость k-той точки тела – это скорость относительно системы , её ранее обозначили через :
Т.к. система координат движется вместе с центром масс поступательно, то переносной скоростью будет скорость центра масс тела:
С учётом (6) и (7) равенство (5) запишется
Подставим теперь (8) в выражение (2) для кинетической энергии системы (или тела) и получим:
В полученном равенстве рассмотрим каждое слагаемое.
это масса всей системы (или тела);
( это скорость центра масс в системе , а так как в этой системе центр масс неподвижен, то эта скорость равна нулю);
это кинетическая энергия системы в её движении относительно системы координат , движущейся вместе с центром масс поступательно.
Следовательно, получаем
и, тем самым, теорема Кёнига доказана.
Равенство (9) называется формулой Кёнига для вычисления кинетической энергии системы (или тела).
Применим формулу Кёнига для вычисления кинетической энергии при плоскопараллельном движении тела. В случае плоскопараллельного движения движение тела относительно системы это вращательное движение вокруг оси
Поэтому в случае плоского движения в формуле Кёнига второе слагаемое может быть вычислено как при вращательном движении
Тем самым выражение (9) для плоскопараллельного движения тела примет вид
Равенство (10) называют формулой Кёнига для плоскопараллельного движения.
Рассмотрим примеры применения формулы Кёнига для плоскопараллельного движения.
1) Однородный цилиндр массы m и радиуса R катится без скольжения по плоскости. Скорость его центра равна v.
Вычислить кинетическую энергию этого цилиндра.
РЕШЕНИЕ. Так как цилиндр совершает плоское движение, то применим формулу (10). В данном случае
Т.к. цилиндр катится без скольжения, то мгновенный центр скоростей – в точке контакта цилиндра с дорогой,
следовательно,
Подставляя полученные выражения в (10), получим
2) Тонкое однородное кольцо (труба) массы m и радиуса R катится без скольжения по дороге. Скорость центра равна v.
Найти кинетическую энергию кольца.
РЕШЕНИЕ. Ничем не отличается от решения примера 1) за исключением вычисления момента инерции
В силу этого из равенства (10) получим
Сравнивая результаты (11) и (12) между собой, видим, что при равных скоростях центров, одинаковых массах и радиусах кинетическая энергия диска составляет лишь 75% от кинетической энергии кольца. Поэтому диск разогнать до заданной скорости легче, чем кольцо. Именно по этой причине у гоночных велосипедов (там, где это возможно) обычные колёса заменяют на дисковые.
2. Работа силы и мощность.
Пусть материальная точка движется под действием силы и за промежуток получает перемещение . Вычислим скалярное произведение .
Скалярное произведение вектора силы на вектор бесконечно малого перемещения точки называется элементарной работой силы
Согласно определению
Учитывая, что
это проекция силы на касательную к траектории, а , получим вместо (14)
Если векторы силы и перемещения заданы аналитически
то элементарная работа (скалярное произведение векторов) может быть вычислена по формуле
Пусть теперь точка по некоторой траектории перемещается из положения в положение под действием некоторой (вообще говоря, переменной) силы .
Траекторию на участке разбиваем на достаточно малые отрезки, на каждом находим перемещения и приближенно, согласно (13), вычисляем элементарную работу
складываем все элементарные работы
а затем переходим к пределу при . Получаем
т.е. криволинейный интеграл по кривой от элементарной работы силы.
Этот криволинейный интеграл
называется работой силы на конечном перемещении (или, – просто работой силы).
При практических расчетах (17) удобнее всего записывать в виде
Рассмотрим примеры применения (17) и (18) для вычисления работ некоторых сил.
1) Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении. Тело движется поступательно и прямолинейно под действием постоянной по модулю и направлению силы и перемещается на расстояние s. Найти работу этой силы.
РЕШЕНИЕ. Выбираем координатную ось Ox в направлении движения тела, а начало координат – в положении . Тогда будем иметь:
В силу этого из (18) получим
2) Работа силы тяжести. Тело из положения перемещается в положение . Вычислить работу силы тяжести тела.
РЕШЕНИЕ. Систему координат выберем так: плоскость Oxy – горизонтально, ось Oz направим вертикально вверх. Начало отсчета О – в произвольном месте. Начальное положение тела определено координатами , а конечное – . В силу этого будем иметь:
Тогда формула (18) даст
Полученный результат может быть записан в виде
Согласно (19), можем получить
Равенству (19) можно придать с учетом (20) универсальный вид, если сообразить, что это высота, на которую поднимается, или опускается, тело
Тогда
Знаки в (21) следует выбирать так:
Ø «+» – если тело опускается вниз;