Лекция 3. Спектры импульсных сигналов

 

Рассмотрим спектры одиночных импульсов различной формы. Их определение производится подстановкой аналитического описания импульса в формулу для интеграла Фурье.

 

(1.22)

 

Так, для прямоугольного импульса pиc. 1.10, а имеем:

 

Модуль этой функции

При изменении положения импульса на временной оси выражение для будет отличаться от полученного лишь аргументом, сохраняя модуль неизменным.

Характер спектров для других часто встречающихся форм импульсов — треугольного, косинусоидального, экспоненциального, колокольного и скачкообразного -изображен на рис. 1.10, б - е. На рис. 1.11, ж, з изображены предельные случаи спек­тров дельта-функции и постоянной величины. Из диаграмм видно, что их спектры обладают бесконечной -Протяженностью, имея тенденцию к затуханию (кроме дельта-функции, обладающей равномерным спектром) с увеличением частоты . Форма спектра, степень и характер его затухания существенно зависят от формы импульса и его длительности. Следовательно, форма и ширина импульса 1лияют на действительную ширину спектра. Амплитуда же сигнала на ширину спектра не влияет, она определяет лишь масштаб по оси ординат.

Рассмотрим в связи с этим связь ширины-спектра с шириной импульса произ­вольной формы. Увеличение длительности импульса в а раз эквивалентно уменьше­нию во столько раз же аргумента под знаком временной функции. Спектр полу­ченного импульса

 

где

или

 

 

Рис. 1.10 Спектры импульсных сигналов различной формы:

а - прямоугольный импульс; б- треугольный импульс;

в- косинусоидальный импульс; г-экспоненциальный импульс;

д- колокольный импульс; е — скачок; ж-дельта-функция;

з - постоянная величина.

 

Отсюда следует, что спектр расширенного в а раз импульса во столько же раз уже спектра исходного сигнала. Масштабный множитель а перед на характер и ширину спектра влияния не оказывает. Он лишь увеличивает все амплитуды гармони­ческих составляющих в а раз. Его наличие вызвано изменением в а раз площади перво­начального импульса при расширении.

Рассматриваемый одиночный импульс и его спектр в общем случае затухают лишь при бесконечно больших величинах аргументов. Однако если в соответствии с каким-либо критерием ширину импульса и ширину спектра ограничить некото­рыми значениями аргументов, то согласно полученному выше соотношению имеет место закономерность:

где - постоянная зависящая только от формы импульса. В качестве такого критерия часто используется энергетический критерий, согласно которому интервалы и выбираются так, чтобы энергия отсеченных частей функций и была пре­небрежимо малой по сравнению с энергией функций внутри интервалов. Для определе­ния граничных значений и должны быть известны зависимости между значимой долей энергии импульса и аргументами t и .

Удельная мгновенная мощность сигнала , т.е. мощность, выделяющаяся на единичном сопротивлении, равна , а полная удельная энергия составляет:

Полагая значимую долю энергии равной Е₀ = КЕ (коэффициент К<1, но доста­точно близкий к единице, задается произвольно), практическую ширину импульса можно определить из соотношения

Для нахождения по этому же критерию практической ширины спектра можно воспользоваться равенством Парсеваля. Опуская промежуточные выкладки получим:

Величина есть энергия, приходящаяся на полосу частот. Поэтому

Функция выражает спектральную плотность энергии. Практическая

ширина спектра определяется из равенства

Используя данный критерий, можно подсчитать величину для любой формы импульсов. Для изображенных на рис. 1.10 импульсов пропорциональная ей константа лежит в пределах от 0,22 (для колокольного импульса) до 1,13 (для экспоненциального импульса). Для ориентировочных оценок при любой форме импульсов обычно принимают .

Для периодической последовательности импульсов (импульсного носителя) спектр является дискретным и определяется выражением (1.10) из сопоставления его с (1.13)

следует, что

т.е. комплексные амплитуды дискретного спектра могут быть получены из непрерывного

спектра при дискретных значениях аргумента . Другими словами, для импульсов одинаковой формы решетчатая функция , вписывает­ся в непрерывную . Постоянная составляющая при этом имеет вдвое мень­шее значение. Это обстоятельство отображено на рис.1.11, где спектры одиночного им­пульса и последовательности импульсов той же формы, изображенных на диаграммах а и б, совмещены (диаграмма в). Расстояние между составляющими дискретного спектра равно основной частоте носителя . Отсюда следует, что изменение периода следования импульсов Т приводит к изменению плотности дискретных состав­ляющих, а изменение скважности при неизменном периоде (т. с. изменение ) вызывает сужение или расширение огибающей с сохранением ее формы, оставляя неизменным расстояние между линиями дискретного спектра.

На рис. 1.12 изображены деформации спектра импульсного носителя при изменении Т (диаграммы - а) и г (диаграммы б) для импульсов прямоугольной формы. Цифрами 0, 1, 2... обозначены соответствующие гармоники дискретного спектра.

 

 

Рис. 1.11 Связь спектров одиночного импульса и

периодической последовательности импульсов.

а — одиночный импульс;

б — периодическая последовательность импульсов;

в — спектры одиночного импульса и периодической последовательности импульсов.

 

 

Рис. 1.12 Изменение характера спектра при изменении параметров импульсных

последовательностей.

 

 

Импульсный носитель описывается рядом Фурье

Информационные параметры носителя — амплитуда импульсов , частота (или период следования импульсов ) и ширина импульсов входят в выражение для гармоник . Характер изменения параметров определяет вид импульсной модуляции.

Рассмотрим, например, спектр при амплитудно-импульсной модуляции (АИМ.) Для любой формы импульсов формулу носителя можно представить в виде

где

При АИМ изменение амплитуды происходит по закону

При этом разложение модулированного носителя получает вид:

В простейшем случае, когда модулирующая функция содержит одну гармоническую составляющую

или, что то же самое,

получаем:

Отсюда видно, что кроме основных линий, содержащихся в спектре носителя (первое слагаемое), имеются дополнительные линии меньших размеров, расположенные на частотах .

При более сложной модулирующей функции по обе стороны от каждой основной линии располагается полоса дополнительных составляющих, число которых определяется полосой частот модулирующей функции.

При время-импульсной и частотно-импульсной модуляции даже при элемен­тарной модулирующей функции с одной гармоникой вокруг каждой линии спектра носителя располагается бесконечно большое число дополнительных гармоник носителя, которые, однако, быстро убывают.

 

 

Рис. 1.13 Спектр АИМ-сигнала

 

Из сказанного следует важный вывод: несмотря на то, что характер спектра при модуляции носителя изменяется и зависит от вида модуляции, его ширина практически остается такой же, как и для отдельного импульса. Она определяется главным образом шириной этого импульса и может быть оценена величиной.

где — постоянная, зависящая от формы импульса и имеющая порядок единицы.