Лекция 4. Основы оптимальной обработки сигналов

 

Если на входе приемника действует сигнал x(t), равный сумме полезного сигнала и помехи n(t) или только помехе, то оптимальный приемник в случае сигнала с полностью известными параметрами вычисляет так называемый корреляционный интег­рал, а затем сравнивает его величину с порогом z₀. Если помеха является гауссовским случайным процессом, спектральная плот­ность которого равномерна (белый шум), то корреляционный ин­теграл имеет вид

(1.23)

Значение корреляционного интеграла (1.23) находится с по­мощью коррелятора (рис. 1.14) или согласованного фильтра (рис. 1.15). Основными элементами коррелятора, как следует выражения (1.23), являются перемножитель, генератор сигнала и интегратор. На перемножитель поступают входной сигнал

сигнал u(t) от генератора сигнала. Произведение x(t)u(t) интег­рируется с момента прихода (t=0) и до момента окончания об­наруживаемого сигнала (t=T). Отметим, что коррелятор является устройством с переменными параметрами, так как режим его ра­боты зависит от изменения u(t) во времени. Поскольку операции

 

 

Рис. 1.14 Коррелятор

 

 

Рис. 1.15 Согласованный фильтр

 

умножения и интегрирования линейны, то коррелятор является линейным устройством. Имея в виду, что он отфильтровывает сиг­нал от помех и является линейным устройством с переменными параметрами, его иногда называют активным фильтром в отличие от пассивных фильтров, параметры которых постоянны во време­ни.

Согласованный фильтр является пассивным фильтром. Напря­жение на выходе согласованного фильтра в момент окончания сигнала (t = T) с точностью до постоянного множителя а равно напряжению на выходе коррелятора

(1.24)

Импульсная характеристика согласованного фильтра

(1.25)

которая по форме является зеркально отображенным сигналом с запаздыванием Т.

Общим между коррелятором и согласованным фильтром яв­ляется равенство (с точностью до постоянной) выходных напря­жений в момент времени t=T. Это и определяет их взаимную эк­вивалентность с точки зрения обнаружения сигнала. Различие заключается в следующем. Коррелятор является устройством с пе­ременными во времени параметрами, а согласованный фильтр — устройством с постоянными параметрами. Следствием этого яв­ляется то, что согласованный фильтр инвариантен относительно задержки сигнала и его начальной фазы (насколько эти величины изменятся в сигнале на входе фильтра, настолько они изменятся и в сигнале па выходе), а коррелятор не инвариантен.

Если сигнал имеет несколько неизмеряемых или измеряемых случайных параметров, то структура оптимального приемника из­меняется, по его основная часть остается прежней, так как всег­да должен быть согласованный фильтр или коррелятор. Напри­мер, при случайной начальной фазе сигнала в приемнике с сог-ласованным фильтром за фильтром должен следовать детектор для выделения огибающей. В приемнике корреляционного типа должны быть второй (квадратурный) канал и схема выделения огибающей. Поэтому в оптимальном приемнике всегда есть сог­ласованный фильтр или коррелятор.

Коэффициент передачи согласованного фильтра с импульсной характеристикой (1.25)

 

(1.26)

где - спектр сигнала, * — знак комплексной сопряженности. Из (1.26) следует выражение для амплитудно-частотной характеристики (АЧХ)

(1.27)

и для фазо-частотной характеристики (ФЧХ) согласованного фильтра

(1.28)

Из (1.27) следует, что АЧХ согласованного фильтра повторяет спектральную плотность сигнала.

Исключительная роль согласованного фильтра (или корреля­тора) в оптимальном приемнике объясняется тем, что он максимизирует отношение сигнал-помеха на своем выходе. Это отношение при действии на входе фильтра белого шума со спектральной плотностью N_o и сигнала с энергией Е не зависит от формы сигнала

(1.29)

Проиллюстрируем более подробно корреляционный метод. Сущность корреляционного метода заключается в использовании различия сигнала и помехи. Данный метод эффективен лишь в случае приема периодических или квазипериодических сигналов.

Рассмотрим пример, когда полезный сигнал является периодическим, а помеха - типа белого гауссова шума.

В приемном устройстве определяется корреляционная функция поступающей на вход суммы полезного сигнала и помехи

 

(1.30)

 

В полученном выражении и есть взаимные корреляционные функции сигнала и помехи, а и — авто-корреляционные функции сигнала и помехи соответственно.

Поскольку передаваемый сигнал и помеха статистически независимы, то

следовательно, выражение (1.30) примет вид

(1.31)

Из выражения (1.31) видно, что кор­реляционная функция смеси сигнала и помехи равна сумме автокорреляци­онных функций сигнала и помехи. Как известно, корреляционная функция пе­риодического сигнала является перио­дической функцией аргумента. Функция с увеличением стремится к нулю и при практически равна нулю (рис.1.16). Следовательно, выбирая такое время , при котором значением можно пренебречь, мы обеспечим тем самым полу­чение функции , отображающей полезный сигнал, т. е. выде-ление полезного сигнала из смеси полезного сигнала с помехой.

 

Рис.1.16 Вид корреляционных функций

 

Для уточнения того, от каких факторов зависит время, затра­чиваемое для выделения полезного сигнала при корреляционном приеме, выразим корреляционные функции и через дисперсии и нормированные корреляционные функции и

(1.32)

Подставляя (1.32) в (1.31), найдем

(1.33)

Из (1.33),видно, что выбор времени приема зависит от интервала корреляции помехи и отношения сигнал/помеха. Действительно, при вторым членом можно пренебречь и для выделения полезного сигнала теоретически времени не потребуется. При необходимо увеличивать , чтобы получить. Следо­вательно, в последнем случае для выделения полезного сигнала необходимо дополнительное время, которое должно расти с увеличением отношения и интервала корреляции помехи .

Общее время, затрачиваемое на корреляционный прием, опреде­ляется не только , но и временем интегрирования T_l выбираемым достаточно большим. Практически ограничиваются значением

.