Множественная линейная регрессия
Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными:
где 
- зависимая переменная (результативный признак);
- независимые переменные (факторы).
Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции:
линейная – 
степенная – 
экспонента – 
гипербола - 
.
Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду.
Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:
Для ее решения может быть применен метод определителей:
, 
,…, 
,
где 
- определитель системы;
- частные определители; которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.
Другой вид уравнения множественной регрессии – уравнение регрессии в стандартизированном масштабе:
где 
- стандартизированные переменные;
- стандартизированные коэффициенты регрессии.
К уравнению множественной регрессии в стандартизированном масштабе применим МНК. Стандартизированные коэффициенты регрессии (
- коэффициенты) определяются из следующей системы уравнений:
.
Связь коэффициентов множественной регрессии 
со стандартизированными коэффициентами 
описывается соотношением
Параметр 
определяется как 
.
Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле
Для расчета частных коэффициентов эластичности применяется следующая формула:
.
Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:
Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:
Индекс множественной корреляции для уравнения в стандартизированном масштабе можно записать в виде
При линейной зависимости коэффициент множественной корреляции можно определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:
---- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
------ определитель матрицы межфакторной корреляции.
Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на y фактора 
при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле:
или по рекуррентной формуле:
.
Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до 1.
Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции:
Скорректированный индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле:
где n-число наблюдений;
m – число факторов.
Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:
Частный F-критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого факторов в уравнении. В общем виде для фактора частный F-критерий определится как
Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии с помощью t-критерия Стьюдента сводится к вычислению значения
где 
- средняя квадратичная ошибка коэффициента регрессии 
она может быть определена по следующей формуле:
При построении уравнения множественной регрессии может возникнуть проблема мультиколлинеарности факторов, их тесной линейной связанности.
Считается, что две переменные явно коллинеарны, т. е. находятся между собой в линейной зависимости, если 
По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь явная коллинеарность факторов. Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов.
Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.
Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей, поскольку все недиагональные элементы 
были бы равны нулю. Так, для включающего три объясняющих переменных уравнения
матрица коэффициентов корреляции между факторами имела бы определитель, равный 1:
так как 
и 
.
Если же, наоборот, между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты корреляции равны 1, то определитель такой матрицы равен 0:
.
Чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И наоборот, чем ближе к 1 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.
Проверка мультиколлинеарности факторов может быть проведена методом испытания гипотезы о независимости переменных 
. Доказано, что величина 
имеет приближенное распределение 
с 
степенями свободы. Если фактическое значение превосходит табличное (критическое) 
, то гипотеза 
отклоняется. Это означает, что 
, недиагональные ненулевые коэффициенты корреляции указывают на коллинеарность факторов. Мультиколлинеарность считается доказанной.
Для применения МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора 
остатки 
имеют одинаковую дисперсию. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность.
При нарушении гомоскедастичности мы имеем неравенства
При малом объеме выборки для оценки гетероскедастичности может использоваться метод Гольдфельда-Квандта. Основная идея теста Гольдфельда-Квандта состоит в следующем:
1) упорядочение 
наблюдений по мере возрастания переменной 
;
2) исключение из рассмотрения 
центральных наблюдений; при этом 
-число оцениваемых параметров;
3) разделение совокупности из 
наблюдений на две группы (соответственно с малыми и с большими значениями фактора ) и определение по каждой из групп уравнений регрессии;
4)определение остаточной суммы квадратов для первой 
и второй 
групп и нахождение их отношения: 
.
При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности отношение R будет удовлетворять F-критерию со степенями свободы 
для каждой остаточной суммы квадратов. Чем больше величина R превышает табличное значение F-критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.
Уравнения множественной регрессии могут включать в качестве независимых переменных качественные признаки (например, профессия, пол, образование, климатические условия, отдельные регионы и т. д.). Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, их необходимо упорядочить и присвоить им те или иные значения, т. е. качественные переменные преобразовать в количественные. 
Такого вида сконструированные переменные принято в эконометрике называть фиктивными переменными.
Коэффициент регрессии при фиктивной переменной интерпретируется как среднее изменение зависимой переменной при переходе от одной категории к другой при неизменных значениях остальных параметров. На основе t-критерия Стьюдента делается вывод о значимости влияния фиктивной переменной, существенности расхождения между категориями.
Множественная линейная регрессия представляет собой выражение
Для случая 
=2 по результатам наблюдений система нормальных уравнений, полученная МНК, будет иметь вид
Дальнейшие рассуждения удобно вести, используя следующие матричные обозначения:
- вектор наблюденния 
- вектор параметров
- регрессионная матрица (nk+1)
Система нормальных уравнений имеет вид 
. При условии, что 
– невырожденная матрица, решение системы можно записать в виде
Ковариационная матрица оценок параметров регрессионной модели будет равна
Дисперсии параметров модели определяются соотношением
Во множественной линейной регрессии предпосылки регрессионного анализа и его проведение полностью совпадают с простой линейной регрессией. Особенностью множественной регрессии является корреляция независимых переменных. Желательно избегать включения в модель линейно зависимых переменных.
Линейное уравнение множественной регрессии y от х1 и х2 имеет вид: 
. Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе: 
.
Расчет b-коэффициентов выполним по формулам
Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем 
и 
, используя формулы для перехода от 
к 
:
Значение 
определим из соотношения
Для характеристики относительной силы влияния 
и 
на 
рассчитаем средние коэффициенты эластичности:
С увеличением средней заработной платы 
на 1% от ее среднего уровня средний душевой доход возрастает на 1,02% от своего среднего уровня; при повышении среднего возраста безработного на 1% среднедушевой доход снижается на 0,87% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния средней заработной платы на средний душевой доход оказалась больше, чем сила влияния среднего возраста безработного . К аналогичным выводам о силе связи приходим при сравнении модулей значений 
и 
:
.
Различия в силе влияния фактора на результат, полученные при сравнении 
и 
, объясняются тем, что коэффициент эластичности исходит из соотношения средних: 
а -коэффициент - из соотношения средних квадратических отклонений:
.
2. Линейные коэффициенты частной корреляции здесь рассчитываются по рекуррентной формуле:
;
;
.
Расчет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов 
и :
.
Зависимость от и характеризуется как тесная, в которой 72% вариации среднего душевого дохода определяются вариацией учтенных в модели факторов: средней заработной платы и среднего возраста безработного. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 28% от общей вариации .